Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107504 / 121872
↖ ↑ ↗
← S 82.314772°
E115.268555°		 ← 40.84 m → S 82.314772°
E115.271301°		 →
↑
40.84 m
↓
↑
40.84 m
↓
S 82.315139°
E115.268555°		 ← 40.84 m →
1 668 m²		 S 82.315139°
E115.271301°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107504 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 121872 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820194244384766 y=0.929813385009766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820194244384766 × 217)
    floor (0.820194244384766 × 131072)
    floor (107504.5)     		tx = 107504
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.929813385009766 × 217)
    floor (0.929813385009766 × 131072)
    floor (121872.5)     		ty = 121872
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107504 / 121872 ti = "17/107504/121872"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107504/121872.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107504 ÷ 217
    107504 ÷ 131072     		x = 0.8201904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 121872 ÷ 217
    121872 ÷ 131072     		y = 0.9298095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8201904296875 × 2 - 1) × π
    0.640380859375 × 3.1415926535     		Λ = 2.01181580
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9298095703125 × 2 - 1) × π
    -0.859619140625 × 3.1415926535     		Φ = -2.70057317699548
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01181580} λ = 2.01181580}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.70057317699548))-π/2
    2×atan(0.0671670031233451)-π/2
    2×0.0670662697719895-π/2
    0.134132539543979-1.57079632675     		φ = -1.43666379
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01181580} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.268555°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43666379 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.314772°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107504 KachelY 121872 2.01181580 -1.43666379 115.268555 -82.314772
    Oben rechts KachelX + 1 107505 KachelY 121872 2.01186374 -1.43666379 115.271301 -82.314772
    Unten links KachelX 107504 KachelY + 1 121873 2.01181580 -1.43667020 115.268555 -82.315139
    Unten rechts KachelX + 1 107505 KachelY + 1 121873 2.01186374 -1.43667020 115.271301 -82.315139
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43666379--1.43667020) × R
    6.40999999990122e-06 × 6371000     		dl = 40.8381099993707m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43666379--1.43667020) × R
    6.40999999990122e-06 × 6371000     		dr = 40.8381099993707m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01181580-2.01186374) × cos(-1.43666379) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.133730690031353 × 6371000     		do = 40.8447949635098m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01181580-2.01186374) × cos(-1.43667020) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.133724337605081 × 6371000     		du = 40.842854769015m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43666379)-sin(-1.43667020))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.133730690031353-0.133724337605081)×R²
    abs(2.01186374-2.01181580)×6.35242627161636e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.35242627161636e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.35242627161636e-06×40589641000000     		ar = 1667.9846128043m²