Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 10747 / 5629
↖ ↑ ↗
← N 48.965794°
E 56.140137°		 ← 1 603.99 m → N 48.965794°
E 56.162109°		 →
↑
1 604.22 m
↓
↑
1 604.22 m
↓
N 48.951367°
E 56.140137°		 ← 1 604.46 m →
2 573 527 m²		 N 48.951367°
E 56.162109°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10747 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5629 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.655975341796875 y=0.343597412109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.655975341796875 × 214)
    floor (0.655975341796875 × 16384)
    floor (10747.5)     		tx = 10747
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343597412109375 × 214)
    floor (0.343597412109375 × 16384)
    floor (5629.5)     		ty = 5629
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10747 / 5629 ti = "14/10747/5629"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10747/5629.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10747 ÷ 214
    10747 ÷ 16384     		x = 0.65594482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5629 ÷ 214
    5629 ÷ 16384     		y = 0.34356689453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.65594482421875 × 2 - 1) × π
    0.3118896484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.97983023
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34356689453125 × 2 - 1) × π
    0.3128662109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.982898189809631
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.97983023} λ = 0.97983023}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.982898189809631))-π/2
    2×atan(2.67218954273179)-π/2
    2×1.21270532484704-π/2
    2.42541064969408-1.57079632675     		φ = 0.85461432
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.97983023} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.140137°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85461432 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.965794°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10747 KachelY 5629 0.97983023 0.85461432 56.140137 48.965794
    Oben rechts KachelX + 1 10748 KachelY 5629 0.98021372 0.85461432 56.162109 48.965794
    Unten links KachelX 10747 KachelY + 1 5630 0.97983023 0.85436252 56.140137 48.951367
    Unten rechts KachelX + 1 10748 KachelY + 1 5630 0.98021372 0.85436252 56.162109 48.951367
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85461432-0.85436252) × R
    0.000251800000000024 × 6371000     		dl = 1604.21780000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85461432-0.85436252) × R
    0.000251800000000024 × 6371000     		dr = 1604.21780000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.97983023-0.98021372) × cos(0.85461432) × R
    0.000383489999999931 × 0.656509483836576 × 6371000     		do = 1603.9936806845m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.97983023-0.98021372) × cos(0.85436252) × R
    0.000383489999999931 × 0.656699400236557 × 6371000     		du = 1604.4576872418m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85461432)-sin(0.85436252))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.656509483836576-0.656699400236557)×R²
    abs(0.98021372-0.97983023)×0.000189916399980561×R²
    0.000383489999999931×0.000189916399980561×6371000²
    0.000383489999999931×0.000189916399980561×40589641000000     		ar = 2573527.41102858m²