Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107458 / 122050
↖ ↑ ↗
← S 82.379876°
E115.142212°		 ← 40.49 m → S 82.379876°
E115.144958°		 →
↑
40.52 m
↓
↑
40.52 m
↓
S 82.380240°
E115.142212°		 ← 40.49 m →
1 641 m²		 S 82.380240°
E115.144958°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107458 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 122050 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819843292236328 y=0.931171417236328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819843292236328 × 217)
    floor (0.819843292236328 × 131072)
    floor (107458.5)     		tx = 107458
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.931171417236328 × 217)
    floor (0.931171417236328 × 131072)
    floor (122050.5)     		ty = 122050
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107458 / 122050 ti = "17/107458/122050"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107458/122050.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107458 ÷ 217
    107458 ÷ 131072     		x = 0.819839477539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 122050 ÷ 217
    122050 ÷ 131072     		y = 0.931167602539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.819839477539062 × 2 - 1) × π
    0.639678955078125 × 3.1415926535     		Λ = 2.00961071
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.931167602539062 × 2 - 1) × π
    -0.862335205078125 × 3.1415926535     		Φ = -2.70910594512785
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00961071} λ = 2.00961071}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.70910594512785))-π/2
    2×atan(0.0665963208717341)-π/2
    2×0.0664981289185945-π/2
    0.132996257837189-1.57079632675     		φ = -1.43780007
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00961071} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.142212°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43780007 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.379876°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107458 KachelY 122050 2.00961071 -1.43780007 115.142212 -82.379876
    Oben rechts KachelX + 1 107459 KachelY 122050 2.00965864 -1.43780007 115.144958 -82.379876
    Unten links KachelX 107458 KachelY + 1 122051 2.00961071 -1.43780643 115.142212 -82.380240
    Unten rechts KachelX + 1 107459 KachelY + 1 122051 2.00965864 -1.43780643 115.144958 -82.380240
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43780007--1.43780643) × R
    6.35999999998305e-06 × 6371000     		dl = 40.519559999892m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43780007--1.43780643) × R
    6.35999999998305e-06 × 6371000     		dr = 40.519559999892m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00961071-2.00965864) × cos(-1.43780007) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.13260453033758 × 6371000     		do = 40.4923885711049m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00961071-2.00965864) × cos(-1.43780643) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.132598226499892 × 6371000     		du = 40.4904636184315m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43780007)-sin(-1.43780643))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.13260453033758-0.132598226499892)×R²
    abs(2.00965864-2.00961071)×6.30383768859821e-06×R²
    4.79300000000293e-05×6.30383768859821e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×6.30383768859821e-06×40589641000000     		ar = 1640.6947692408m²