Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107456 / 121920
↖ ↑ ↗
← S 82.332382°
E115.136719°		 ← 40.75 m → S 82.332382°
E115.139465°		 →
↑
40.71 m
↓
↑
40.71 m
↓
S 82.332748°
E115.136719°		 ← 40.75 m →
1 659 m²		 S 82.332748°
E115.139465°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107456 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 121920 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819828033447266 y=0.930179595947266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819828033447266 × 217)
    floor (0.819828033447266 × 131072)
    floor (107456.5)     		tx = 107456
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.930179595947266 × 217)
    floor (0.930179595947266 × 131072)
    floor (121920.5)     		ty = 121920
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107456 / 121920 ti = "17/107456/121920"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107456/121920.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107456 ÷ 217
    107456 ÷ 131072     		x = 0.81982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 121920 ÷ 217
    121920 ÷ 131072     		y = 0.93017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81982421875 × 2 - 1) × π
    0.6396484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.00951483
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.93017578125 × 2 - 1) × π
    -0.8603515625 × 3.1415926535     		Φ = -2.70287414817725
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00951483} λ = 2.00951483}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.70287414817725))-π/2
    2×atan(0.0670126314552823)-π/2
    2×0.0669125898243686-π/2
    0.133825179648737-1.57079632675     		φ = -1.43697115
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00951483} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.136719°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43697115 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.332382°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107456 KachelY 121920 2.00951483 -1.43697115 115.136719 -82.332382
    Oben rechts KachelX + 1 107457 KachelY 121920 2.00956277 -1.43697115 115.139465 -82.332382
    Unten links KachelX 107456 KachelY + 1 121921 2.00951483 -1.43697754 115.136719 -82.332748
    Unten rechts KachelX + 1 107457 KachelY + 1 121921 2.00956277 -1.43697754 115.139465 -82.332748
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43697115--1.43697754) × R
    6.39000000002277e-06 × 6371000     		dl = 40.710690000145m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43697115--1.43697754) × R
    6.39000000002277e-06 × 6371000     		dr = 40.710690000145m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00951483-2.00956277) × cos(-1.43697115) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.133426084515866 × 6371000     		do = 40.7517605985343m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00951483-2.00956277) × cos(-1.43697754) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.13341975164762 × 6371000     		du = 40.7498263775639m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43697115)-sin(-1.43697754))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.133426084515866-0.13341975164762)×R²
    abs(2.00956277-2.00951483)×6.33286824616719e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.33286824616719e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.33286824616719e-06×40589641000000     		ar = 1658.99292092247m²