Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10743 / 5628
↖ ↑ ↗
← N 48.980217°
E 56.052246°		 ← 1 603.53 m → N 48.980217°
E 56.074219°		 →
↑
1 603.77 m
↓
↑
1 603.77 m
↓
N 48.965794°
E 56.052246°		 ← 1 603.99 m →
2 572 068 m²		 N 48.965794°
E 56.074219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10743 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5628 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.655731201171875 y=0.343536376953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.655731201171875 × 214)
    floor (0.655731201171875 × 16384)
    floor (10743.5)     		tx = 10743
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343536376953125 × 214)
    floor (0.343536376953125 × 16384)
    floor (5628.5)     		ty = 5628
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10743 / 5628 ti = "14/10743/5628"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10743/5628.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10743 ÷ 214
    10743 ÷ 16384     		x = 0.65570068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5628 ÷ 214
    5628 ÷ 16384     		y = 0.343505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.65570068359375 × 2 - 1) × π
    0.3114013671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.97829625
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.343505859375 × 2 - 1) × π
    0.31298828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.983281685006592
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.97829625} λ = 0.97829625}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.983281685006592))-π/2
    2×atan(2.67321451110945)-π/2
    2×1.21283119075625-π/2
    2.4256623815125-1.57079632675     		φ = 0.85486605
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.97829625} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.052246°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85486605 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.980217°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10743 KachelY 5628 0.97829625 0.85486605 56.052246 48.980217
    Oben rechts KachelX + 1 10744 KachelY 5628 0.97867974 0.85486605 56.074219 48.980217
    Unten links KachelX 10743 KachelY + 1 5629 0.97829625 0.85461432 56.052246 48.965794
    Unten rechts KachelX + 1 10744 KachelY + 1 5629 0.97867974 0.85461432 56.074219 48.965794
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85486605-0.85461432) × R
    0.000251730000000006 × 6371000     		dl = 1603.77183000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85486605-0.85461432) × R
    0.000251730000000006 × 6371000     		dr = 1603.77183000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.97829625-0.97867974) × cos(0.85486605) × R
    0.000383490000000042 × 0.65631957862558 × 6371000     		do = 1603.52970146476m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.97829625-0.97867974) × cos(0.85461432) × R
    0.000383490000000042 × 0.656509483836576 × 6371000     		du = 1603.99368068496m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85486605)-sin(0.85461432))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.65631957862558-0.656509483836576)×R²
    abs(0.97867974-0.97829625)×0.000189905210996377×R²
    0.000383490000000042×0.000189905210996377×6371000²
    0.000383490000000042×0.000189905210996377×40589641000000     		ar = 2572067.83576087m²