Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107392 / 122240
↖ ↑ ↗
← S 82.448764°
E114.960937°		 ← 40.14 m → S 82.448764°
E114.963684°		 →
↑
40.14 m
↓
↑
40.14 m
↓
S 82.449125°
E114.960937°		 ← 40.13 m →
1 611 m²		 S 82.449125°
E114.963684°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107392 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 122240 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819339752197266 y=0.932621002197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819339752197266 × 217)
    floor (0.819339752197266 × 131072)
    floor (107392.5)     		tx = 107392
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.932621002197266 × 217)
    floor (0.932621002197266 × 131072)
    floor (122240.5)     		ty = 122240
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107392 / 122240 ti = "17/107392/122240"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107392/122240.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107392 ÷ 217
    107392 ÷ 131072     		x = 0.8193359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 122240 ÷ 217
    122240 ÷ 131072     		y = 0.9326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8193359375 × 2 - 1) × π
    0.638671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.00644687
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9326171875 × 2 - 1) × π
    -0.865234375 × 3.1415926535     		Φ = -2.71821395605566
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00644687} λ = 2.00644687}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.71821395605566))-π/2
    2×atan(0.0659925147638955)-π/2
    2×0.0658969649143413-π/2
    0.131793929828683-1.57079632675     		φ = -1.43900240
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00644687} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.960937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43900240 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.448764°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107392 KachelY 122240 2.00644687 -1.43900240 114.960937 -82.448764
    Oben rechts KachelX + 1 107393 KachelY 122240 2.00649481 -1.43900240 114.963684 -82.448764
    Unten links KachelX 107392 KachelY + 1 122241 2.00644687 -1.43900870 114.960937 -82.449125
    Unten rechts KachelX + 1 107393 KachelY + 1 122241 2.00649481 -1.43900870 114.963684 -82.449125
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43900240--1.43900870) × R
    6.30000000012565e-06 × 6371000     		dl = 40.1373000008005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43900240--1.43900870) × R
    6.30000000012565e-06 × 6371000     		dr = 40.1373000008005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00644687-2.00649481) × cos(-1.43900240) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.131412722523038 × 6371000     		do = 40.1368280219872m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00644687-2.00649481) × cos(-1.43900870) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.131406477155642 × 6371000     		du = 40.1349205260286m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43900240)-sin(-1.43900870))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.131412722523038-0.131406477155642)×R²
    abs(2.00649481-2.00644687)×6.24536739624038e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.24536739624038e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.24536739624038e-06×40589641000000     		ar = 1610.94562663772m²