Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107392 / 121728
↖ ↑ ↗
← S 82.261699°
E114.960937°		 ← 41.13 m → S 82.261699°
E114.963684°		 →
↑
41.16 m
↓
↑
41.16 m
↓
S 82.262069°
E114.960937°		 ← 41.12 m →
1 693 m²		 S 82.262069°
E114.963684°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107392 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 121728 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819339752197266 y=0.928714752197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819339752197266 × 217)
    floor (0.819339752197266 × 131072)
    floor (107392.5)     		tx = 107392
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.928714752197266 × 217)
    floor (0.928714752197266 × 131072)
    floor (121728.5)     		ty = 121728
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107392 / 121728 ti = "17/107392/121728"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107392/121728.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107392 ÷ 217
    107392 ÷ 131072     		x = 0.8193359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 121728 ÷ 217
    121728 ÷ 131072     		y = 0.9287109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8193359375 × 2 - 1) × π
    0.638671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.00644687
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9287109375 × 2 - 1) × π
    -0.857421875 × 3.1415926535     		Φ = -2.6936702634502
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00644687} λ = 2.00644687}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.6936702634502))-π/2
    2×atan(0.0676322550886032)-π/2
    2×0.0675294177819463-π/2
    0.135058835563893-1.57079632675     		φ = -1.43573749
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00644687} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.960937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43573749 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.261699°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107392 KachelY 121728 2.00644687 -1.43573749 114.960937 -82.261699
    Oben rechts KachelX + 1 107393 KachelY 121728 2.00649481 -1.43573749 114.963684 -82.261699
    Unten links KachelX 107392 KachelY + 1 121729 2.00644687 -1.43574395 114.960937 -82.262069
    Unten rechts KachelX + 1 107393 KachelY + 1 121729 2.00649481 -1.43574395 114.963684 -82.262069
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43573749--1.43574395) × R
    6.46000000004143e-06 × 6371000     		dl = 41.156660000264m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43573749--1.43574395) × R
    6.46000000004143e-06 × 6371000     		dr = 41.156660000264m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00644687-2.00649481) × cos(-1.43573749) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.134648612232741 × 6371000     		do = 41.1251520311311m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00644687-2.00649481) × cos(-1.43574395) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.134642211058499 × 6371000     		du = 41.1231969477513m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43573749)-sin(-1.43574395))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.134648612232741-0.134642211058499)×R²
    abs(2.00649481-2.00644687)×6.40117424219322e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.40117424219322e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.40117424219322e-06×40589641000000     		ar = 1692.53366719301m²