Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10726 / 5606
↖ ↑ ↗
← N 49.296472°
E 55.678711°		 ← 1 593.33 m → N 49.296472°
E 55.700683°		 →
↑
1 593.58 m
↓
↑
1 593.58 m
↓
N 49.282140°
E 55.678711°		 ← 1 593.79 m →
2 539 466 m²		 N 49.282140°
E 55.700683°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10726 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5606 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.654693603515625 y=0.342193603515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.654693603515625 × 214)
    floor (0.654693603515625 × 16384)
    floor (10726.5)     		tx = 10726
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342193603515625 × 214)
    floor (0.342193603515625 × 16384)
    floor (5606.5)     		ty = 5606
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10726 / 5606 ti = "14/10726/5606"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10726/5606.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10726 ÷ 214
    10726 ÷ 16384     		x = 0.6546630859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5606 ÷ 214
    5606 ÷ 16384     		y = 0.3421630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6546630859375 × 2 - 1) × π
    0.309326171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.97177683
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3421630859375 × 2 - 1) × π
    0.315673828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.991718579339722
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.97177683} λ = 0.97177683}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.991718579339722))-π/2
    2×atan(2.6958635488901)-π/2
    2×1.21559103292934-π/2
    2.43118206585868-1.57079632675     		φ = 0.86038574
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.97177683} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 55.678711°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86038574 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.296472°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10726 KachelY 5606 0.97177683 0.86038574 55.678711 49.296472
    Oben rechts KachelX + 1 10727 KachelY 5606 0.97216032 0.86038574 55.700683 49.296472
    Unten links KachelX 10726 KachelY + 1 5607 0.97177683 0.86013561 55.678711 49.282140
    Unten rechts KachelX + 1 10727 KachelY + 1 5607 0.97216032 0.86013561 55.700683 49.282140
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86038574-0.86013561) × R
    0.00025012999999996 × 6371000     		dl = 1593.57822999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86038574-0.86013561) × R
    0.00025012999999996 × 6371000     		dr = 1593.57822999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.97177683-0.97216032) × cos(0.86038574) × R
    0.000383489999999931 × 0.652145089441261 × 6371000     		do = 1593.33052774847m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.97177683-0.97216032) × cos(0.86013561) × R
    0.000383489999999931 × 0.652334691135227 × 6371000     		du = 1593.79376541138m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86038574)-sin(0.86013561))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.652145089441261-0.652334691135227)×R²
    abs(0.97216032-0.97177683)×0.000189601693965757×R²
    0.000383489999999931×0.000189601693965757×6371000²
    0.000383489999999931×0.000189601693965757×40589641000000     		ar = 2539465.95818263m²