Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10722 / 5858
↖ ↑ ↗
← N 45.552525°
E 55.590820°		 ← 1 710.87 m → N 45.552525°
E 55.612793°		 →
↑
1 711.12 m
↓
↑
1 711.12 m
↓
N 45.537137°
E 55.590820°		 ← 1 711.34 m →
2 927 916 m²		 N 45.537137°
E 55.612793°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10722 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5858 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.654449462890625 y=0.357574462890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.654449462890625 × 214)
    floor (0.654449462890625 × 16384)
    floor (10722.5)     		tx = 10722
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.357574462890625 × 214)
    floor (0.357574462890625 × 16384)
    floor (5858.5)     		ty = 5858
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10722 / 5858 ti = "14/10722/5858"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10722/5858.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10722 ÷ 214
    10722 ÷ 16384     		x = 0.6544189453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5858 ÷ 214
    5858 ÷ 16384     		y = 0.3575439453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6544189453125 × 2 - 1) × π
    0.308837890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.97024285
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3575439453125 × 2 - 1) × π
    0.284912109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.895077789705689
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.97024285} λ = 0.97024285}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.895077789705689))-π/2
    2×atan(2.44752617439799)-π/2
    2×1.18291893750536-π/2
    2.36583787501072-1.57079632675     		φ = 0.79504155
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.97024285} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 55.590820°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.79504155 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.552525°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10722 KachelY 5858 0.97024285 0.79504155 55.590820 45.552525
    Oben rechts KachelX + 1 10723 KachelY 5858 0.97062634 0.79504155 55.612793 45.552525
    Unten links KachelX 10722 KachelY + 1 5859 0.97024285 0.79477297 55.590820 45.537137
    Unten rechts KachelX + 1 10723 KachelY + 1 5859 0.97062634 0.79477297 55.612793 45.537137
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.79504155-0.79477297) × R
    0.000268579999999963 × 6371000     		dl = 1711.12317999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.79504155-0.79477297) × R
    0.000268579999999963 × 6371000     		dr = 1711.12317999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.97024285-0.97062634) × cos(0.79504155) × R
    0.000383490000000042 × 0.700255104403776 × 6371000     		do = 1710.87362785249m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.97024285-0.97062634) × cos(0.79477297) × R
    0.000383490000000042 × 0.70044681644662 × 6371000     		du = 1711.34202155098m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.79504155)-sin(0.79477297))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.700255104403776-0.70044681644662)×R²
    abs(0.97062634-0.97024285)×0.000191712042843295×R²
    0.000383490000000042×0.000191712042843295×6371000²
    0.000383490000000042×0.000191712042843295×40589641000000     		ar = 2927916.2799269m²