Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 10721 / 5855
↖ ↑ ↗
← N 45.598666°
E 55.568847°		 ← 1 709.51 m → N 45.598666°
E 55.590820°		 →
↑
1 709.72 m
↓
↑
1 709.72 m
↓
N 45.583290°
E 55.568847°		 ← 1 709.98 m →
2 923 192 m²		 N 45.583290°
E 55.590820°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10721 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5855 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.654388427734375 y=0.357391357421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.654388427734375 × 214)
    floor (0.654388427734375 × 16384)
    floor (10721.5)     		tx = 10721
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.357391357421875 × 214)
    floor (0.357391357421875 × 16384)
    floor (5855.5)     		ty = 5855
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10721 / 5855 ti = "14/10721/5855"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10721/5855.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10721 ÷ 214
    10721 ÷ 16384     		x = 0.65435791015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5855 ÷ 214
    5855 ÷ 16384     		y = 0.35736083984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.65435791015625 × 2 - 1) × π
    0.3087158203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.96985935
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.35736083984375 × 2 - 1) × π
    0.2852783203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.89622827529657
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.96985935} λ = 0.96985935}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.89622827529657))-π/2
    2×atan(2.45034363841005)-π/2
    2×1.18332158879026-π/2
    2.36664317758052-1.57079632675     		φ = 0.79584685
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.96985935} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 55.568847°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.79584685 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.598666°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10721 KachelY 5855 0.96985935 0.79584685 55.568847 45.598666
    Oben rechts KachelX + 1 10722 KachelY 5855 0.97024285 0.79584685 55.590820 45.598666
    Unten links KachelX 10721 KachelY + 1 5856 0.96985935 0.79557849 55.568847 45.583290
    Unten rechts KachelX + 1 10722 KachelY + 1 5856 0.97024285 0.79557849 55.590820 45.583290
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.79584685-0.79557849) × R
    0.000268359999999968 × 6371000     		dl = 1709.72155999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.79584685-0.79557849) × R
    0.000268359999999968 × 6371000     		dr = 1709.72155999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.96985935-0.97024285) × cos(0.79584685) × R
    0.000383499999999981 × 0.69967997961314 × 6371000     		do = 1709.51305106914m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.96985935-0.97024285) × cos(0.79557849) × R
    0.000383499999999981 × 0.699871685931871 × 6371000     		du = 1709.98144299601m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.79584685)-sin(0.79557849))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.69967997961314-0.699871685931871)×R²
    abs(0.97024285-0.96985935)×0.000191706318731×R²
    0.000383499999999981×0.000191706318731×6371000²
    0.000383499999999981×0.000191706318731×40589641000000     		ar = 2923191.74794545m²