Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10709 / 5844
↖ ↑ ↗
← N 45.767523°
E 55.305176°		 ← 1 704.36 m → N 45.767523°
E 55.327149°		 →
↑
1 704.62 m
↓
↑
1 704.62 m
↓
N 45.752193°
E 55.305176°		 ← 1 704.83 m →
2 905 695 m²		 N 45.752193°
E 55.327149°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10709 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5844 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.653656005859375 y=0.356719970703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.653656005859375 × 214)
    floor (0.653656005859375 × 16384)
    floor (10709.5)     		tx = 10709
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.356719970703125 × 214)
    floor (0.356719970703125 × 16384)
    floor (5844.5)     		ty = 5844
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10709 / 5844 ti = "14/10709/5844"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10709/5844.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10709 ÷ 214
    10709 ÷ 16384     		x = 0.65362548828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5844 ÷ 214
    5844 ÷ 16384     		y = 0.356689453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.65362548828125 × 2 - 1) × π
    0.3072509765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.96525741
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.356689453125 × 2 - 1) × π
    0.28662109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.900446722463135
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.96525741} λ = 0.96525741}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.900446722463135))-π/2
    2×atan(2.46070211657403)-π/2
    2×1.18479514647428-π/2
    2.36959029294857-1.57079632675     		φ = 0.79879397
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.96525741} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 55.305176°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.79879397 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.767523°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10709 KachelY 5844 0.96525741 0.79879397 55.305176 45.767523
    Oben rechts KachelX + 1 10710 KachelY 5844 0.96564091 0.79879397 55.327149 45.767523
    Unten links KachelX 10709 KachelY + 1 5845 0.96525741 0.79852641 55.305176 45.752193
    Unten rechts KachelX + 1 10710 KachelY + 1 5845 0.96564091 0.79852641 55.327149 45.752193
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.79879397-0.79852641) × R
    0.000267559999999945 × 6371000     		dl = 1704.62475999965m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.79879397-0.79852641) × R
    0.000267559999999945 × 6371000     		dr = 1704.62475999965m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.96525741-0.96564091) × cos(0.79879397) × R
    0.000383499999999981 × 0.697571355420939 × 6371000     		do = 1704.36109491575m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.96525741-0.96564091) × cos(0.79852641) × R
    0.000383499999999981 × 0.697763041288735 × 6371000     		du = 1704.82943687529m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.79879397)-sin(0.79852641))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.697571355420939-0.697763041288735)×R²
    abs(0.96564091-0.96525741)×0.000191685867795721×R²
    0.000383499999999981×0.000191685867795721×6371000²
    0.000383499999999981×0.000191685867795721×40589641000000     		ar = 2905695.31335671m²