Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107010 / 121346
↖ ↑ ↗
← S 82.119137°
E113.911743°		 ← 41.88 m → S 82.119137°
E113.914490°		 →
↑
41.86 m
↓
↑
41.86 m
↓
S 82.119513°
E113.911743°		 ← 41.88 m →
1 753 m²		 S 82.119513°
E113.914490°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107010 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 121346 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.816425323486328 y=0.925800323486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.816425323486328 × 217)
    floor (0.816425323486328 × 131072)
    floor (107010.5)     		tx = 107010
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.925800323486328 × 217)
    floor (0.925800323486328 × 131072)
    floor (121346.5)     		ty = 121346
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107010 / 121346 ti = "17/107010/121346"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107010/121346.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107010 ÷ 217
    107010 ÷ 131072     		x = 0.816421508789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 121346 ÷ 217
    121346 ÷ 131072     		y = 0.925796508789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.816421508789062 × 2 - 1) × π
    0.632843017578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.98813497
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.925796508789062 × 2 - 1) × π
    -0.851593017578125 × 3.1415926535     		Φ = -2.67535836779533
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.98813497} λ = 1.98813497}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.67535836779533))-π/2
    2×atan(0.0688821388307239)-π/2
    2×0.0687735051063612-π/2
    0.137547010212722-1.57079632675     		φ = -1.43324932
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.98813497} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.911743°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43324932 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.119137°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107010 KachelY 121346 1.98813497 -1.43324932 113.911743 -82.119137
    Oben rechts KachelX + 1 107011 KachelY 121346 1.98818291 -1.43324932 113.914490 -82.119137
    Unten links KachelX 107010 KachelY + 1 121347 1.98813497 -1.43325589 113.911743 -82.119513
    Unten rechts KachelX + 1 107011 KachelY + 1 121347 1.98818291 -1.43325589 113.914490 -82.119513
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43324932--1.43325589) × R
    6.57000000003904e-06 × 6371000     		dl = 41.8574700002488m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43324932--1.43325589) × R
    6.57000000003904e-06 × 6371000     		dr = 41.8574700002488m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.98813497-1.98818291) × cos(-1.43324932) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.137113704142382 × 6371000     		do = 41.8780545518005m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.98813497-1.98818291) × cos(-1.43325589) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.137107196191003 × 6371000     		du = 41.8760668559347m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43324932)-sin(-1.43325589))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.137113704142382-0.137107196191003)×R²
    abs(1.98818291-1.98813497)×6.50795137899229e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.50795137899229e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.50795137899229e-06×40589641000000     		ar = 1752.86781215428m²