Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107008 / 121344
↖ ↑ ↗
← S 82.118384°
E113.906250°		 ← 41.88 m → S 82.118384°
E113.908997°		 →
↑
41.86 m
↓
↑
41.86 m
↓
S 82.118760°
E113.906250°		 ← 41.88 m →
1 753 m²		 S 82.118760°
E113.908997°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107008 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 121344 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.816410064697266 y=0.925785064697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.816410064697266 × 217)
    floor (0.816410064697266 × 131072)
    floor (107008.5)     		tx = 107008
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.925785064697266 × 217)
    floor (0.925785064697266 × 131072)
    floor (121344.5)     		ty = 121344
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107008 / 121344 ti = "17/107008/121344"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107008/121344.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107008 ÷ 217
    107008 ÷ 131072     		x = 0.81640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 121344 ÷ 217
    121344 ÷ 131072     		y = 0.92578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81640625 × 2 - 1) × π
    0.6328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.98803910
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.92578125 × 2 - 1) × π
    -0.8515625 × 3.1415926535     		Φ = -2.67526249399609
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.98803910} λ = 1.98803910}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.67526249399609))-π/2
    2×atan(0.0688887431396584)-π/2
    2×0.0687800782245093-π/2
    0.137560156449019-1.57079632675     		φ = -1.43323617
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.98803910} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.906250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43323617 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.118384°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107008 KachelY 121344 1.98803910 -1.43323617 113.906250 -82.118384
    Oben rechts KachelX + 1 107009 KachelY 121344 1.98808704 -1.43323617 113.908997 -82.118384
    Unten links KachelX 107008 KachelY + 1 121345 1.98803910 -1.43324274 113.906250 -82.118760
    Unten rechts KachelX + 1 107009 KachelY + 1 121345 1.98808704 -1.43324274 113.908997 -82.118760
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43323617--1.43324274) × R
    6.57000000003904e-06 × 6371000     		dl = 41.8574700002488m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43323617--1.43324274) × R
    6.57000000003904e-06 × 6371000     		dr = 41.8574700002488m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.98803910-1.98808704) × cos(-1.43323617) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.137126729932919 × 6371000     		do = 41.8820329635144m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.98803910-1.98808704) × cos(-1.43324274) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.137120221993386 × 6371000     		du = 41.8800452712668m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43323617)-sin(-1.43324274))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.137126729932919-0.137120221993386)×R²
    abs(1.98808704-1.98803910)×6.50793953269058e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.50793953269058e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.50793953269058e-06×40589641000000     		ar = 1753.03433838106m²