Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
7 / 107 / 127
↖ ↑ ↗
← S 84.802474°
E120.937500°		 ← 28.331 km → S 84.802474°
E123.750000°		 →
↑
27.649 km
↓
↑
27.649 km
↓
S 85.051129°
E120.937500°		 ← 26.979 km →
764.630 km²		 S 85.051129°
E123.750000°
     

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 7 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 127 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.83984375 y=0.99609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=7 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.83984375 × 27)
    floor (0.83984375 × 128)
    floor (107.5)     		tx = 107
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.99609375 × 27)
    floor (0.99609375 × 128)
    floor (127.5)     		ty = 127
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 7 / 107 / 127 ti = "7/107/127"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/7/107/127.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107 ÷ 27
    107 ÷ 128     		x = 0.8359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 127 ÷ 27
    127 ÷ 128     		y = 0.9921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8359375 × 2 - 1) × π
    0.671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.11075756
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9921875 × 2 - 1) × π
    -0.984375 × 3.1415926535     		Φ = -3.09250526828906
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.11075756} λ = 2.11075756}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-3.09250526828906))-π/2
    2×atan(0.0453881024755232)-π/2
    2×0.0453569732386442-π/2
    0.0907139464772884-1.57079632675     		φ = -1.48008238
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.11075756} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 120.937500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.48008238 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -84.802474°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107 KachelY 127 2.11075756 -1.48008238 120.937500 -84.802474
    Oben rechts KachelX + 1 108 KachelY 127 2.15984495 -1.48008238 123.750000 -84.802474
    Unten links KachelX 107 KachelY + 1 128 2.11075756 -1.48442223 120.937500 -85.051129
    Unten rechts KachelX + 1 108 KachelY + 1 128 2.15984495 -1.48442223 123.750000 -85.051129
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.48008238--1.48442223) × R
    0.00433985000000003 × 6371000     		dl = 27649.1843500002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.48008238--1.48442223) × R
    0.00433985000000003 × 6371000     		dr = 27649.1843500002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.11075756-2.15984495) × cos(-1.48008238) × R
    0.04908739 × 0.0905895834927595 × 6371000     		do = 28330.602394788m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.11075756-2.15984495) × cos(-1.48442223) × R
    0.04908739 × 0.0862667380803361 × 6371000     		du = 26978.6940420656m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.48008238)-sin(-1.48442223))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.0905895834927595-0.0862667380803361)×R²
    abs(2.15984495-2.11075756)×0.00432284541242343×R²
    0.04908739×0.00432284541242343×6371000²
    0.04908739×0.00432284541242343×40589641000000     		ar = 764629666.831262m²