Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10694 / 5830
↖ ↑ ↗
← N 45.981695°
E 54.975586°		 ← 1 697.81 m → N 45.981695°
E 54.997559°		 →
↑
1 698.06 m
↓
↑
1 698.06 m
↓
N 45.966424°
E 54.975586°		 ← 1 698.27 m →
2 883 377 m²		 N 45.966424°
E 54.997559°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10694 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5830 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.652740478515625 y=0.355865478515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.652740478515625 × 214)
    floor (0.652740478515625 × 16384)
    floor (10694.5)     		tx = 10694
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.355865478515625 × 214)
    floor (0.355865478515625 × 16384)
    floor (5830.5)     		ty = 5830
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10694 / 5830 ti = "14/10694/5830"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10694/5830.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10694 ÷ 214
    10694 ÷ 16384     		x = 0.6527099609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5830 ÷ 214
    5830 ÷ 16384     		y = 0.3558349609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6527099609375 × 2 - 1) × π
    0.305419921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.95950498
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3558349609375 × 2 - 1) × π
    0.288330078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.905815655220581
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.95950498} λ = 0.95950498}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.905815655220581))-π/2
    2×atan(2.47394898973909)-π/2
    2×1.18666415170286-π/2
    2.37332830340571-1.57079632675     		φ = 0.80253198
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.95950498} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 54.975586°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.80253198 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.981695°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10694 KachelY 5830 0.95950498 0.80253198 54.975586 45.981695
    Oben rechts KachelX + 1 10695 KachelY 5830 0.95988848 0.80253198 54.997559 45.981695
    Unten links KachelX 10694 KachelY + 1 5831 0.95950498 0.80226545 54.975586 45.966424
    Unten rechts KachelX + 1 10695 KachelY + 1 5831 0.95988848 0.80226545 54.997559 45.966424
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.80253198-0.80226545) × R
    0.000266529999999987 × 6371000     		dl = 1698.06262999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.80253198-0.80226545) × R
    0.000266529999999987 × 6371000     		dr = 1698.06262999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.95950498-0.95988848) × cos(0.80253198) × R
    0.000383500000000092 × 0.694888146747612 × 6371000     		do = 1697.80526885369m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.95950498-0.95988848) × cos(0.80226545) × R
    0.000383500000000092 × 0.695079788540627 × 6371000     		du = 1698.27350312627m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.80253198)-sin(0.80226545))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.694888146747612-0.695079788540627)×R²
    abs(0.95988848-0.95950498)×0.000191641793014119×R²
    0.000383500000000092×0.000191641793014119×6371000²
    0.000383500000000092×0.000191641793014119×40589641000000     		ar = 2883377.24268708m²