Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10691 / 5826
↖ ↑ ↗
← N 46.042735°
E 54.909668°		 ← 1 695.89 m → N 46.042735°
E 54.931640°		 →
↑
1 696.15 m
↓
↑
1 696.15 m
↓
N 46.027482°
E 54.909668°		 ← 1 696.36 m →
2 876 880 m²		 N 46.027482°
E 54.931640°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10691 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5826 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.652557373046875 y=0.355621337890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.652557373046875 × 214)
    floor (0.652557373046875 × 16384)
    floor (10691.5)     		tx = 10691
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.355621337890625 × 214)
    floor (0.355621337890625 × 16384)
    floor (5826.5)     		ty = 5826
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10691 / 5826 ti = "14/10691/5826"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10691/5826.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10691 ÷ 214
    10691 ÷ 16384     		x = 0.65252685546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5826 ÷ 214
    5826 ÷ 16384     		y = 0.3555908203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.65252685546875 × 2 - 1) × π
    0.3050537109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.95835450
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3555908203125 × 2 - 1) × π
    0.288818359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.907349636008423
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.95835450} λ = 0.95835450}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.907349636008423))-π/2
    2×atan(2.4777468921694)-π/2
    2×1.18719683028095-π/2
    2.3743936605619-1.57079632675     		φ = 0.80359733
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.95835450} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 54.909668°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.80359733 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.042735°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10691 KachelY 5826 0.95835450 0.80359733 54.909668 46.042735
    Oben rechts KachelX + 1 10692 KachelY 5826 0.95873799 0.80359733 54.931640 46.042735
    Unten links KachelX 10691 KachelY + 1 5827 0.95835450 0.80333110 54.909668 46.027482
    Unten rechts KachelX + 1 10692 KachelY + 1 5827 0.95873799 0.80333110 54.931640 46.027482
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.80359733-0.80333110) × R
    0.000266230000000034 × 6371000     		dl = 1696.15133000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.80359733-0.80333110) × R
    0.000266230000000034 × 6371000     		dr = 1696.15133000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.95835450-0.95873799) × cos(0.80359733) × R
    0.000383490000000042 × 0.694121640366091 × 6371000     		do = 1695.88825780168m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.95835450-0.95873799) × cos(0.80333110) × R
    0.000383490000000042 × 0.694313263487598 × 6371000     		du = 1696.35643424625m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.80359733)-sin(0.80333110))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.694121640366091-0.694313263487598)×R²
    abs(0.95873799-0.95835450)×0.000191623121507112×R²
    0.000383490000000042×0.000191623121507112×6371000²
    0.000383490000000042×0.000191623121507112×40589641000000     		ar = 2876880.19004498m²