Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 1067 / 1021
↖ ↑ ↗
← N  0.527336°
E  7.558594°		 ← 19.545 km → N  0.527336°
E  7.734375°		 →
↑
19.545 km
↓
↑
19.545 km
↓
N  0.351560°
E  7.558594°		 ← 19.546 km →
382.022 km²		 N  0.351560°
E  7.734375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1067 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1021 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521240234375 y=0.498779296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521240234375 × 211)
    floor (0.521240234375 × 2048)
    floor (1067.5)     		tx = 1067
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.498779296875 × 211)
    floor (0.498779296875 × 2048)
    floor (1021.5)     		ty = 1021
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1067 / 1021 ti = "11/1067/1021"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1067/1021.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1067 ÷ 211
    1067 ÷ 2048     		x = 0.52099609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1021 ÷ 211
    1021 ÷ 2048     		y = 0.49853515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52099609375 × 2 - 1) × π
    0.0419921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.13192235
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.49853515625 × 2 - 1) × π
    0.0029296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.00920388472705078
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13192235} λ = 0.13192235}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.00920388472705078))-π/2
    2×atan(1.00924637071944)-π/2
    2×0.790000040789447-π/2
    1.58000008157889-1.57079632675     		φ = 0.00920375
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13192235} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.558594°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.00920375 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.527336°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1067 KachelY 1021 0.13192235 0.00920375 7.558594 0.527336
    Oben rechts KachelX + 1 1068 KachelY 1021 0.13499031 0.00920375 7.734375 0.527336
    Unten links KachelX 1067 KachelY + 1 1022 0.13192235 0.00613588 7.558594 0.351560
    Unten rechts KachelX + 1 1068 KachelY + 1 1022 0.13499031 0.00613588 7.734375 0.351560
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.00920375-0.00613588) × R
    0.00306787 × 6371000     		dl = 19545.39977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.00920375-0.00613588) × R
    0.00306787 × 6371000     		dr = 19545.39977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13192235-0.13499031) × cos(0.00920375) × R
    0.00306796000000001 × 0.999957645791952 × 6371000     		do = 19545.1453057863m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13192235-0.13499031) × cos(0.00613588) × R
    0.00306796000000001 × 0.999981175547373 × 6371000     		du = 19545.6052177543m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.00920375)-sin(0.00613588))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999957645791952-0.999981175547373)×R²
    abs(0.13499031-0.13192235)×2.35297554211922e-05×R²
    0.00306796000000001×2.35297554211922e-05×6371000²
    0.00306796000000001×2.35297554211922e-05×40589641000000     		ar = 382022472.773447m²