Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106464 / 123040
↖ ↑ ↗
← S 82.732092°
E112.412110°		 ← 38.63 m → S 82.732092°
E112.414856°		 →
↑
38.61 m
↓
↑
38.61 m
↓
S 82.732439°
E112.412110°		 ← 38.63 m →
1 491 m²		 S 82.732439°
E112.414856°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106464 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 123040 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.812259674072266 y=0.938724517822266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.812259674072266 × 217)
    floor (0.812259674072266 × 131072)
    floor (106464.5)     		tx = 106464
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.938724517822266 × 217)
    floor (0.938724517822266 × 131072)
    floor (123040.5)     		ty = 123040
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106464 / 123040 ti = "17/106464/123040"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106464/123040.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106464 ÷ 217
    106464 ÷ 131072     		x = 0.812255859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 123040 ÷ 217
    123040 ÷ 131072     		y = 0.938720703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.812255859375 × 2 - 1) × π
    0.62451171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.96196143
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.938720703125 × 2 - 1) × π
    -0.87744140625 × 3.1415926535     		Φ = -2.75656347575171
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.96196143} λ = 1.96196143}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.75656347575171))-π/2
    2×atan(0.0635096462131666)-π/2
    2×0.063424464072844-π/2
    0.126848928145688-1.57079632675     		φ = -1.44394740
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.96196143} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.412110°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44394740 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.732092°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106464 KachelY 123040 1.96196143 -1.44394740 112.412110 -82.732092
    Oben rechts KachelX + 1 106465 KachelY 123040 1.96200936 -1.44394740 112.414856 -82.732092
    Unten links KachelX 106464 KachelY + 1 123041 1.96196143 -1.44395346 112.412110 -82.732439
    Unten rechts KachelX + 1 106465 KachelY + 1 123041 1.96200936 -1.44395346 112.414856 -82.732439
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44394740--1.44395346) × R
    6.05999999980789e-06 × 6371000     		dl = 38.608259998776m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44394740--1.44395346) × R
    6.05999999980789e-06 × 6371000     		dr = 38.608259998776m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.96196143-1.96200936) × cos(-1.44394740) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.12650902009067 × 6371000     		do = 38.6310511882215m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.96196143-1.96200936) × cos(-1.44395346) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.126503008777678 × 6371000     		du = 38.6292155614833m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44394740)-sin(-1.44395346))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.12650902009067-0.126503008777678)×R²
    abs(1.96200936-1.96196143)×6.01131299199364e-06×R²
    4.79300000000293e-05×6.01131299199364e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×6.01131299199364e-06×40589641000000     		ar = 1491.44223310048m²