Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106432 / 123072
↖ ↑ ↗
← S 82.743202°
E112.324219°		 ← 38.57 m → S 82.743202°
E112.326965°		 →
↑
38.61 m
↓
↑
38.61 m
↓
S 82.743549°
E112.324219°		 ← 38.57 m →
1 489 m²		 S 82.743549°
E112.326965°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106432 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 123072 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.812015533447266 y=0.938968658447266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.812015533447266 × 217)
    floor (0.812015533447266 × 131072)
    floor (106432.5)     		tx = 106432
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.938968658447266 × 217)
    floor (0.938968658447266 × 131072)
    floor (123072.5)     		ty = 123072
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106432 / 123072 ti = "17/106432/123072"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106432/123072.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106432 ÷ 217
    106432 ÷ 131072     		x = 0.81201171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 123072 ÷ 217
    123072 ÷ 131072     		y = 0.93896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81201171875 × 2 - 1) × π
    0.6240234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.96042745
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.93896484375 × 2 - 1) × π
    -0.8779296875 × 3.1415926535     		Φ = -2.75809745653955
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.96042745} λ = 1.96042745}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.75809745653955))-π/2
    2×atan(0.063412298320021)-π/2
    2×0.0633275066558943-π/2
    0.126655013311789-1.57079632675     		φ = -1.44414131
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.96042745} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.324219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44414131 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.743202°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106432 KachelY 123072 1.96042745 -1.44414131 112.324219 -82.743202
    Oben rechts KachelX + 1 106433 KachelY 123072 1.96047538 -1.44414131 112.326965 -82.743202
    Unten links KachelX 106432 KachelY + 1 123073 1.96042745 -1.44414737 112.324219 -82.743549
    Unten rechts KachelX + 1 106433 KachelY + 1 123073 1.96047538 -1.44414737 112.326965 -82.743549
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44414131--1.44414737) × R
    6.06000000002993e-06 × 6371000     		dl = 38.6082600001907m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44414131--1.44414737) × R
    6.06000000002993e-06 × 6371000     		dr = 38.6082600001907m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.96042745-1.96047538) × cos(-1.44414131) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.126316665691675 × 6371000     		do = 38.5723134584648m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.96042745-1.96047538) × cos(-1.44414737) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.126310654230139 × 6371000     		du = 38.570477786367m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44414131)-sin(-1.44414737))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.126316665691675-0.126310654230139)×R²
    abs(1.96047538-1.96042745)×6.01146153572651e-06×R²
    4.79300000000293e-05×6.01146153572651e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×6.01146153572651e-06×40589641000000     		ar = 1489.17447087994m²