Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106407 / 123049
↖ ↑ ↗
← S 82.735218°
E112.255554°		 ← 38.62 m → S 82.735218°
E112.258301°		 →
↑
38.61 m
↓
↑
38.61 m
↓
S 82.735566°
E112.255554°		 ← 38.62 m →
1 491 m²		 S 82.735566°
E112.258301°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106407 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 123049 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.811824798583984 y=0.938793182373047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.811824798583984 × 217)
    floor (0.811824798583984 × 131072)
    floor (106407.5)     		tx = 106407
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.938793182373047 × 217)
    floor (0.938793182373047 × 131072)
    floor (123049.5)     		ty = 123049
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106407 / 123049 ti = "17/106407/123049"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106407/123049.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106407 ÷ 217
    106407 ÷ 131072     		x = 0.811820983886719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 123049 ÷ 217
    123049 ÷ 131072     		y = 0.938789367675781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.811820983886719 × 2 - 1) × π
    0.623641967773438 × 3.1415926535     		Λ = 1.95922902
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.938789367675781 × 2 - 1) × π
    -0.877578735351562 × 3.1415926535     		Φ = -2.75699490784829
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95922902} λ = 1.95922902}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.75699490784829))-π/2
    2×atan(0.0634822520231391)-π/2
    2×0.0633971798854466-π/2
    0.126794359770893-1.57079632675     		φ = -1.44400197
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95922902} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.255554°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44400197 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.735218°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106407 KachelY 123049 1.95922902 -1.44400197 112.255554 -82.735218
    Oben rechts KachelX + 1 106408 KachelY 123049 1.95927696 -1.44400197 112.258301 -82.735218
    Unten links KachelX 106407 KachelY + 1 123050 1.95922902 -1.44400803 112.255554 -82.735566
    Unten rechts KachelX + 1 106408 KachelY + 1 123050 1.95927696 -1.44400803 112.258301 -82.735566
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44400197--1.44400803) × R
    6.06000000002993e-06 × 6371000     		dl = 38.6082600001907m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44400197--1.44400803) × R
    6.06000000002993e-06 × 6371000     		dr = 38.6082600001907m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95922902-1.95927696) × cos(-1.44400197) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.126454888347345 × 6371000     		do = 38.62257785008m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95922902-1.95927696) × cos(-1.44400803) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.126448876992527 × 6371000     		du = 38.6207418275863m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44400197)-sin(-1.44400803))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.126454888347345-0.126448876992527)×R²
    abs(1.95927696-1.95922902)×6.01135481806403e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.01135481806403e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.01135481806403e-06×40589641000000     		ar = 1491.11508463043m²