Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106401 / 123297
↖ ↑ ↗
← S 82.820848°
E112.239075°		 ← 38.17 m → S 82.820848°
E112.241821°		 →
↑
38.16 m
↓
↑
38.16 m
↓
S 82.821191°
E112.239075°		 ← 38.17 m →
1 457 m²		 S 82.821191°
E112.241821°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106401 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 123297 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.811779022216797 y=0.940685272216797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.811779022216797 × 217)
    floor (0.811779022216797 × 131072)
    floor (106401.5)     		tx = 106401
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.940685272216797 × 217)
    floor (0.940685272216797 × 131072)
    floor (123297.5)     		ty = 123297
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106401 / 123297 ti = "17/106401/123297"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106401/123297.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106401 ÷ 217
    106401 ÷ 131072     		x = 0.811775207519531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 123297 ÷ 217
    123297 ÷ 131072     		y = 0.940681457519531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.811775207519531 × 2 - 1) × π
    0.623550415039062 × 3.1415926535     		Λ = 1.95894140
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.940681457519531 × 2 - 1) × π
    -0.881362915039062 × 3.1415926535     		Φ = -2.76888325895406
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95894140} λ = 1.95894140}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.76888325895406))-π/2
    2×atan(0.0627320210626424)-π/2
    2×0.0626499249103638-π/2
    0.125299849820728-1.57079632675     		φ = -1.44549648
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95894140} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.239075°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44549648 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.820848°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106401 KachelY 123297 1.95894140 -1.44549648 112.239075 -82.820848
    Oben rechts KachelX + 1 106402 KachelY 123297 1.95898934 -1.44549648 112.241821 -82.820848
    Unten links KachelX 106401 KachelY + 1 123298 1.95894140 -1.44550247 112.239075 -82.821191
    Unten rechts KachelX + 1 106402 KachelY + 1 123298 1.95898934 -1.44550247 112.241821 -82.821191
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44549648--1.44550247) × R
    5.99000000001126e-06 × 6371000     		dl = 38.1622900000718m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44549648--1.44550247) × R
    5.99000000001126e-06 × 6371000     		dr = 38.1622900000718m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95894140-1.95898934) × cos(-1.44549648) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.124972235066558 × 6371000     		do = 38.1697373746324m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95894140-1.95898934) × cos(-1.44550247) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.124966292024483 × 6371000     		du = 38.1679222166087m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44549648)-sin(-1.44550247))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.124972235066558-0.124966292024483)×R²
    abs(1.95898934-1.95894140)×5.9430420754486e-06×R²
    4.79399999999686e-05×5.9430420754486e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×5.9430420754486e-06×40589641000000     		ar = 1456.60995178061m²