Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106400 / 122976
↖ ↑ ↗
← S 82.709820°
E112.236328°		 ← 38.75 m → S 82.709820°
E112.239075°		 →
↑
38.80 m
↓
↑
38.80 m
↓
S 82.710169°
E112.236328°		 ← 38.75 m →
1 503 m²		 S 82.710169°
E112.239075°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106400 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 122976 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.811771392822266 y=0.938236236572266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.811771392822266 × 217)
    floor (0.811771392822266 × 131072)
    floor (106400.5)     		tx = 106400
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.938236236572266 × 217)
    floor (0.938236236572266 × 131072)
    floor (122976.5)     		ty = 122976
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106400 / 122976 ti = "17/106400/122976"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106400/122976.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106400 ÷ 217
    106400 ÷ 131072     		x = 0.811767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 122976 ÷ 217
    122976 ÷ 131072     		y = 0.938232421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.811767578125 × 2 - 1) × π
    0.62353515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.95889347
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.938232421875 × 2 - 1) × π
    -0.87646484375 × 3.1415926535     		Φ = -2.75349551417603
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95889347} λ = 1.95889347}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.75349551417603))-π/2
    2×atan(0.0637047905620514)-π/2
    2×0.0636188220723228-π/2
    0.127237644144646-1.57079632675     		φ = -1.44355868
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95889347} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.236328°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44355868 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.709820°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106400 KachelY 122976 1.95889347 -1.44355868 112.236328 -82.709820
    Oben rechts KachelX + 1 106401 KachelY 122976 1.95894140 -1.44355868 112.239075 -82.709820
    Unten links KachelX 106400 KachelY + 1 122977 1.95889347 -1.44356477 112.236328 -82.710169
    Unten rechts KachelX + 1 106401 KachelY + 1 122977 1.95894140 -1.44356477 112.239075 -82.710169
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44355868--1.44356477) × R
    6.09000000006965e-06 × 6371000     		dl = 38.7993900004437m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44355868--1.44356477) × R
    6.09000000006965e-06 × 6371000     		dr = 38.7993900004437m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95889347-1.95894140) × cos(-1.44355868) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.126894607335434 × 6371000     		do = 38.7487948920249m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95889347-1.95894140) × cos(-1.44356477) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.12688856656339 × 6371000     		du = 38.7469502696106m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44355868)-sin(-1.44356477))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.126894607335434-0.12688856656339)×R²
    abs(1.95894140-1.95889347)×6.04077204435782e-06×R²
    4.79300000000293e-05×6.04077204435782e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×6.04077204435782e-06×40589641000000     		ar = 1503.39382013039m²