Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106385 / 123025
↖ ↑ ↗
← S 82.726878°
E112.195129°		 ← 38.67 m → S 82.726878°
E112.197876°		 →
↑
38.67 m
↓
↑
38.67 m
↓
S 82.727226°
E112.195129°		 ← 38.66 m →
1 495 m²		 S 82.727226°
E112.197876°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106385 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 123025 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.811656951904297 y=0.938610076904297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.811656951904297 × 217)
    floor (0.811656951904297 × 131072)
    floor (106385.5)     		tx = 106385
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.938610076904297 × 217)
    floor (0.938610076904297 × 131072)
    floor (123025.5)     		ty = 123025
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106385 / 123025 ti = "17/106385/123025"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106385/123025.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106385 ÷ 217
    106385 ÷ 131072     		x = 0.811653137207031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 123025 ÷ 217
    123025 ÷ 131072     		y = 0.938606262207031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.811653137207031 × 2 - 1) × π
    0.623306274414062 × 3.1415926535     		Λ = 1.95817441
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.938606262207031 × 2 - 1) × π
    -0.877212524414062 × 3.1415926535     		Φ = -2.75584442225741
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95817441} λ = 1.95817441}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.75584442225741))-π/2
    2×atan(0.0635553294685819)-π/2
    2×0.0634699636747045-π/2
    0.126939927349409-1.57079632675     		φ = -1.44385640
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95817441} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.195129°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44385640 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.726878°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106385 KachelY 123025 1.95817441 -1.44385640 112.195129 -82.726878
    Oben rechts KachelX + 1 106386 KachelY 123025 1.95822235 -1.44385640 112.197876 -82.726878
    Unten links KachelX 106385 KachelY + 1 123026 1.95817441 -1.44386247 112.195129 -82.727226
    Unten rechts KachelX + 1 106386 KachelY + 1 123026 1.95822235 -1.44386247 112.197876 -82.727226
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44385640--1.44386247) × R
    6.06999999996916e-06 × 6371000     		dl = 38.6719699998035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44385640--1.44386247) × R
    6.06999999996916e-06 × 6371000     		dr = 38.6719699998035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95817441-1.95822235) × cos(-1.44385640) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.12659928842332 × 6371000     		do = 38.6666813501406m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95817441-1.95822235) × cos(-1.44386247) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.126593267260569 × 6371000     		du = 38.6648423320516m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44385640)-sin(-1.44386247))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.12659928842332-0.126593267260569)×R²
    abs(1.95822235-1.95817441)×6.02116275133513e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.02116275133513e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.02116275133513e-06×40589641000000     		ar = 1495.28118204413m²