Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106384 / 123056
↖ ↑ ↗
← S 82.737649°
E112.192383°		 ← 38.60 m → S 82.737649°
E112.195129°		 →
↑
38.61 m
↓
↑
38.61 m
↓
S 82.737996°
E112.192383°		 ← 38.60 m →
1 490 m²		 S 82.737996°
E112.195129°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106384 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 123056 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.811649322509766 y=0.938846588134766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.811649322509766 × 217)
    floor (0.811649322509766 × 131072)
    floor (106384.5)     		tx = 106384
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.938846588134766 × 217)
    floor (0.938846588134766 × 131072)
    floor (123056.5)     		ty = 123056
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106384 / 123056 ti = "17/106384/123056"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106384/123056.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106384 ÷ 217
    106384 ÷ 131072     		x = 0.8116455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 123056 ÷ 217
    123056 ÷ 131072     		y = 0.9388427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8116455078125 × 2 - 1) × π
    0.623291015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.95812648
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9388427734375 × 2 - 1) × π
    -0.877685546875 × 3.1415926535     		Φ = -2.75733046614563
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95812648} λ = 1.95812648}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.75733046614563))-π/2
    2×atan(0.06346095360037)-π/2
    2×0.0633759669221632-π/2
    0.126751933844326-1.57079632675     		φ = -1.44404439
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95812648} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.192383°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44404439 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.737649°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106384 KachelY 123056 1.95812648 -1.44404439 112.192383 -82.737649
    Oben rechts KachelX + 1 106385 KachelY 123056 1.95817441 -1.44404439 112.195129 -82.737649
    Unten links KachelX 106384 KachelY + 1 123057 1.95812648 -1.44405045 112.192383 -82.737996
    Unten rechts KachelX + 1 106385 KachelY + 1 123057 1.95817441 -1.44405045 112.195129 -82.737996
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44404439--1.44405045) × R
    6.06000000002993e-06 × 6371000     		dl = 38.6082600001907m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44404439--1.44405045) × R
    6.06000000002993e-06 × 6371000     		dr = 38.6082600001907m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95812648-1.95817441) × cos(-1.44404439) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.12641280876611 × 6371000     		do = 38.6016719028448m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95812648-1.95817441) × cos(-1.44405045) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.126406797378791 × 6371000     		du = 38.5998362534099m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44404439)-sin(-1.44405045))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.12641280876611-0.126406797378791)×R²
    abs(1.95817441-1.95812648)×6.01138731903816e-06×R²
    4.79300000000293e-05×6.01138731903816e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×6.01138731903816e-06×40589641000000     		ar = 1490.30794960156m²