Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106376 / 123272
↖ ↑ ↗
← S 82.812261°
E112.170410°		 ← 38.22 m → S 82.812261°
E112.173157°		 →
↑
38.23 m
↓
↑
38.23 m
↓
S 82.812605°
E112.170410°		 ← 38.21 m →
1 461 m²		 S 82.812605°
E112.173157°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106376 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 123272 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.811588287353516 y=0.940494537353516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.811588287353516 × 217)
    floor (0.811588287353516 × 131072)
    floor (106376.5)     		tx = 106376
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.940494537353516 × 217)
    floor (0.940494537353516 × 131072)
    floor (123272.5)     		ty = 123272
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106376 / 123272 ti = "17/106376/123272"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106376/123272.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106376 ÷ 217
    106376 ÷ 131072     		x = 0.81158447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 123272 ÷ 217
    123272 ÷ 131072     		y = 0.94049072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81158447265625 × 2 - 1) × π
    0.6231689453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.95774298
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.94049072265625 × 2 - 1) × π
    -0.8809814453125 × 3.1415926535     		Φ = -2.76768483646356
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95774298} λ = 1.95774298}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.76768483646356))-π/2
    2×atan(0.0628072455939403)-π/2
    2×0.062724854218141-π/2
    0.125449708436282-1.57079632675     		φ = -1.44534662
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95774298} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.170410°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44534662 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.812261°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106376 KachelY 123272 1.95774298 -1.44534662 112.170410 -82.812261
    Oben rechts KachelX + 1 106377 KachelY 123272 1.95779092 -1.44534662 112.173157 -82.812261
    Unten links KachelX 106376 KachelY + 1 123273 1.95774298 -1.44535262 112.170410 -82.812605
    Unten rechts KachelX + 1 106377 KachelY + 1 123273 1.95779092 -1.44535262 112.173157 -82.812605
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44534662--1.44535262) × R
    5.99999999995049e-06 × 6371000     		dl = 38.2259999996846m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44534662--1.44535262) × R
    5.99999999995049e-06 × 6371000     		dr = 38.2259999996846m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95774298-1.95779092) × cos(-1.44534662) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.12512091879615 × 6371000     		do = 38.2151492129459m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95774298-1.95779092) × cos(-1.44535262) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.125114965944899 × 6371000     		du = 38.2133310589474m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44534662)-sin(-1.44535262))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.12512091879615-0.125114965944899)×R²
    abs(1.95779092-1.95774298)×5.95285125104539e-06×R²
    4.79400000001906e-05×5.95285125104539e-06×6371000²
    4.79400000001906e-05×5.95285125104539e-06×40589641000000     		ar = 1460.77754329691m²