Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 106375 / 123271
↖ ↑ ↗
← S 82.811917°
E112.167663°		 ← 38.22 m → S 82.811917°
E112.170410°		 →
↑
38.23 m
↓
↑
38.23 m
↓
S 82.812261°
E112.167663°		 ← 38.22 m →
1 461 m²		 S 82.812261°
E112.170410°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106375 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 123271 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.811580657958984 y=0.940486907958984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.811580657958984 × 217)
    floor (0.811580657958984 × 131072)
    floor (106375.5)     		tx = 106375
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.940486907958984 × 217)
    floor (0.940486907958984 × 131072)
    floor (123271.5)     		ty = 123271
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106375 / 123271 ti = "17/106375/123271"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106375/123271.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106375 ÷ 217
    106375 ÷ 131072     		x = 0.811576843261719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 123271 ÷ 217
    123271 ÷ 131072     		y = 0.940483093261719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.811576843261719 × 2 - 1) × π
    0.623153686523438 × 3.1415926535     		Λ = 1.95769504
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.940483093261719 × 2 - 1) × π
    -0.880966186523438 × 3.1415926535     		Φ = -2.76763689956394
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95769504} λ = 1.95769504}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.76763689956394))-π/2
    2×atan(0.0628102564507327)-π/2
    2×0.062727853243959-π/2
    0.125455706487918-1.57079632675     		φ = -1.44534062
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95769504} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.167663°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44534062 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.811917°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106375 KachelY 123271 1.95769504 -1.44534062 112.167663 -82.811917
    Oben rechts KachelX + 1 106376 KachelY 123271 1.95774298 -1.44534062 112.170410 -82.811917
    Unten links KachelX 106375 KachelY + 1 123272 1.95769504 -1.44534662 112.167663 -82.812261
    Unten rechts KachelX + 1 106376 KachelY + 1 123272 1.95774298 -1.44534662 112.170410 -82.812261
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44534062--1.44534662) × R
    5.99999999995049e-06 × 6371000     		dl = 38.2259999996846m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44534062--1.44534662) × R
    5.99999999995049e-06 × 6371000     		dr = 38.2259999996846m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95769504-1.95774298) × cos(-1.44534062) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.125126871642896 × 6371000     		do = 38.2169673653916m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95769504-1.95774298) × cos(-1.44534662) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.12512091879615 × 6371000     		du = 38.2151492127689m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44534062)-sin(-1.44534662))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.125126871642896-0.12512091879615)×R²
    abs(1.95774298-1.95769504)×5.95284674670404e-06×R²
    4.79399999999686e-05×5.95284674670404e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×5.95284674670404e-06×40589641000000     		ar = 1460.84704423843m²