Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106371 / 123009
↖ ↑ ↗
← S 82.721312°
E112.156677°		 ← 38.69 m → S 82.721312°
E112.159424°		 →
↑
38.74 m
↓
↑
38.74 m
↓
S 82.721661°
E112.156677°		 ← 38.69 m →
1 499 m²		 S 82.721661°
E112.159424°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106371 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 123009 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.811550140380859 y=0.938488006591797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.811550140380859 × 217)
    floor (0.811550140380859 × 131072)
    floor (106371.5)     		tx = 106371
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.938488006591797 × 217)
    floor (0.938488006591797 × 131072)
    floor (123009.5)     		ty = 123009
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106371 / 123009 ti = "17/106371/123009"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106371/123009.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106371 ÷ 217
    106371 ÷ 131072     		x = 0.811546325683594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 123009 ÷ 217
    123009 ÷ 131072     		y = 0.938484191894531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.811546325683594 × 2 - 1) × π
    0.623092651367188 × 3.1415926535     		Λ = 1.95750330
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.938484191894531 × 2 - 1) × π
    -0.876968383789062 × 3.1415926535     		Φ = -2.75507743186349
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95750330} λ = 1.95750330}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.75507743186349))-π/2
    2×atan(0.0636040944945294)-π/2
    2×0.0635185323675409-π/2
    0.127037064735082-1.57079632675     		φ = -1.44375926
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95750330} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.156677°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44375926 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.721312°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106371 KachelY 123009 1.95750330 -1.44375926 112.156677 -82.721312
    Oben rechts KachelX + 1 106372 KachelY 123009 1.95755123 -1.44375926 112.159424 -82.721312
    Unten links KachelX 106371 KachelY + 1 123010 1.95750330 -1.44376534 112.156677 -82.721661
    Unten rechts KachelX + 1 106372 KachelY + 1 123010 1.95755123 -1.44376534 112.159424 -82.721661
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44375926--1.44376534) × R
    6.07999999990838e-06 × 6371000     		dl = 38.7356799994163m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44375926--1.44376534) × R
    6.07999999990838e-06 × 6371000     		dr = 38.7356799994163m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95750330-1.95755123) × cos(-1.44375926) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.126695646231647 × 6371000     		do = 38.6880397254811m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95750330-1.95755123) × cos(-1.44376534) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.126689615224146 × 6371000     		du = 38.6861980847878m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44375926)-sin(-1.44376534))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.126695646231647-0.126689615224146)×R²
    abs(1.95755123-1.95750330)×6.0310075007397e-06×R²
    4.79300000000293e-05×6.0310075007397e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×6.0310075007397e-06×40589641000000     		ar = 1498.57185803841m²