Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106368 / 123010
↖ ↑ ↗
← S 82.721661°
E112.148438°		 ← 38.69 m → S 82.721661°
E112.151184°		 →
↑
38.67 m
↓
↑
38.67 m
↓
S 82.722008°
E112.148438°		 ← 38.68 m →
1 496 m²		 S 82.722008°
E112.151184°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106368 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 123010 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.811527252197266 y=0.938495635986328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.811527252197266 × 217)
    floor (0.811527252197266 × 131072)
    floor (106368.5)     		tx = 106368
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.938495635986328 × 217)
    floor (0.938495635986328 × 131072)
    floor (123010.5)     		ty = 123010
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106368 / 123010 ti = "17/106368/123010"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106368/123010.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106368 ÷ 217
    106368 ÷ 131072     		x = 0.8115234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 123010 ÷ 217
    123010 ÷ 131072     		y = 0.938491821289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8115234375 × 2 - 1) × π
    0.623046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.95735949
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.938491821289062 × 2 - 1) × π
    -0.876983642578125 × 3.1415926535     		Φ = -2.75512536876311
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95735949} λ = 1.95735949}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.75512536876311))-π/2
    2×atan(0.0636010455845144)-π/2
    2×0.0635154957415493-π/2
    0.127030991483099-1.57079632675     		φ = -1.44376534
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95735949} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.148438°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44376534 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.721661°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106368 KachelY 123010 1.95735949 -1.44376534 112.148438 -82.721661
    Oben rechts KachelX + 1 106369 KachelY 123010 1.95740742 -1.44376534 112.151184 -82.721661
    Unten links KachelX 106368 KachelY + 1 123011 1.95735949 -1.44377141 112.148438 -82.722008
    Unten rechts KachelX + 1 106369 KachelY + 1 123011 1.95740742 -1.44377141 112.151184 -82.722008
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44376534--1.44377141) × R
    6.0700000001912e-06 × 6371000     		dl = 38.6719700012181m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44376534--1.44377141) × R
    6.0700000001912e-06 × 6371000     		dr = 38.6719700012181m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95735949-1.95740742) × cos(-1.44376534) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.126689615224146 × 6371000     		do = 38.6861980847878m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95735949-1.95740742) × cos(-1.44377141) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.126683594131393 × 6371000     		du = 38.684359471682m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44376534)-sin(-1.44377141))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.126689615224146-0.126683594131393)×R²
    abs(1.95740742-1.95735949)×6.02109275249507e-06×R²
    4.79300000000293e-05×6.02109275249507e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×6.02109275249507e-06×40589641000000     		ar = 1496.0359403919m²