Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106367 / 123006
↖ ↑ ↗
← S 82.720268°
E112.145691°		 ← 38.70 m → S 82.720268°
E112.148438°		 →
↑
38.67 m
↓
↑
38.67 m
↓
S 82.720616°
E112.145691°		 ← 38.70 m →
1 497 m²		 S 82.720616°
E112.148438°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106367 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 123006 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.811519622802734 y=0.938465118408203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.811519622802734 × 217)
    floor (0.811519622802734 × 131072)
    floor (106367.5)     		tx = 106367
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.938465118408203 × 217)
    floor (0.938465118408203 × 131072)
    floor (123006.5)     		ty = 123006
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106367 / 123006 ti = "17/106367/123006"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106367/123006.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106367 ÷ 217
    106367 ÷ 131072     		x = 0.811515808105469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 123006 ÷ 217
    123006 ÷ 131072     		y = 0.938461303710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.811515808105469 × 2 - 1) × π
    0.623031616210938 × 3.1415926535     		Λ = 1.95731155
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.938461303710938 × 2 - 1) × π
    -0.876922607421875 × 3.1415926535     		Φ = -2.75493362116463
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95731155} λ = 1.95731155}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.75493362116463))-π/2
    2×atan(0.0636132421015552)-π/2
    2×0.0635276431119237-π/2
    0.127055286223847-1.57079632675     		φ = -1.44374104
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95731155} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.145691°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44374104 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.720268°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106367 KachelY 123006 1.95731155 -1.44374104 112.145691 -82.720268
    Oben rechts KachelX + 1 106368 KachelY 123006 1.95735949 -1.44374104 112.148438 -82.720268
    Unten links KachelX 106367 KachelY + 1 123007 1.95731155 -1.44374711 112.145691 -82.720616
    Unten rechts KachelX + 1 106368 KachelY + 1 123007 1.95735949 -1.44374711 112.148438 -82.720616
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44374104--1.44374711) × R
    6.06999999996916e-06 × 6371000     		dl = 38.6719699998035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44374104--1.44374711) × R
    6.06999999996916e-06 × 6371000     		dr = 38.6719699998035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95731155-1.95735949) × cos(-1.44374104) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.126713719387261 × 6371000     		do = 38.7016315119811m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95731155-1.95735949) × cos(-1.44374711) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.126707698313197 × 6371000     		du = 38.6997925209795m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44374104)-sin(-1.44374711))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.126713719387261-0.126707698313197)×R²
    abs(1.95735949-1.95731155)×6.02107406408314e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.02107406408314e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.02107406408314e-06×40589641000000     		ar = 1496.63277427363m²