Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106366 / 123266
↖ ↑ ↗
← S 82.810199°
E112.142944°		 ← 38.23 m → S 82.810199°
E112.145691°		 →
↑
38.23 m
↓
↑
38.23 m
↓
S 82.810543°
E112.142944°		 ← 38.22 m →
1 461 m²		 S 82.810543°
E112.145691°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106366 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 123266 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.811511993408203 y=0.940448760986328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.811511993408203 × 217)
    floor (0.811511993408203 × 131072)
    floor (106366.5)     		tx = 106366
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.940448760986328 × 217)
    floor (0.940448760986328 × 131072)
    floor (123266.5)     		ty = 123266
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106366 / 123266 ti = "17/106366/123266"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106366/123266.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106366 ÷ 217
    106366 ÷ 131072     		x = 0.811508178710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 123266 ÷ 217
    123266 ÷ 131072     		y = 0.940444946289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.811508178710938 × 2 - 1) × π
    0.623016357421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.95726361
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.940444946289062 × 2 - 1) × π
    -0.880889892578125 × 3.1415926535     		Φ = -2.76739721506584
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95726361} λ = 1.95726361}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.76739721506584))-π/2
    2×atan(0.0628253128998523)-π/2
    2×0.0627428505127448-π/2
    0.12548570102549-1.57079632675     		φ = -1.44531063
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95726361} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.142944°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44531063 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.810199°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106366 KachelY 123266 1.95726361 -1.44531063 112.142944 -82.810199
    Oben rechts KachelX + 1 106367 KachelY 123266 1.95731155 -1.44531063 112.145691 -82.810199
    Unten links KachelX 106366 KachelY + 1 123267 1.95726361 -1.44531663 112.142944 -82.810543
    Unten rechts KachelX + 1 106367 KachelY + 1 123267 1.95731155 -1.44531663 112.145691 -82.810543
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44531063--1.44531663) × R
    5.99999999995049e-06 × 6371000     		dl = 38.2259999996846m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44531063--1.44531663) × R
    5.99999999995049e-06 × 6371000     		dr = 38.2259999996846m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95726361-1.95731155) × cos(-1.44531063) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.125156625887687 × 6371000     		do = 38.226055077625m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95726361-1.95731155) × cos(-1.44531663) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.125150673063458 × 6371000     		du = 38.2242369318797m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44531063)-sin(-1.44531663))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.125156625887687-0.125150673063458)×R²
    abs(1.95731155-1.95726361)×5.95282422924392e-06×R²
    4.79399999999686e-05×5.95282422924392e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×5.95282422924392e-06×40589641000000     		ar = 1461.19443102493m²