Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106364 / 123020
↖ ↑ ↗
← S 82.725139°
E112.137451°		 ← 38.67 m → S 82.725139°
E112.140197°		 →
↑
38.67 m
↓
↑
38.67 m
↓
S 82.725487°
E112.137451°		 ← 38.67 m →
1 495 m²		 S 82.725487°
E112.140197°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106364 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 123020 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.811496734619141 y=0.938571929931641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.811496734619141 × 217)
    floor (0.811496734619141 × 131072)
    floor (106364.5)     		tx = 106364
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.938571929931641 × 217)
    floor (0.938571929931641 × 131072)
    floor (123020.5)     		ty = 123020
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106364 / 123020 ti = "17/106364/123020"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106364/123020.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106364 ÷ 217
    106364 ÷ 131072     		x = 0.811492919921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 123020 ÷ 217
    123020 ÷ 131072     		y = 0.938568115234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.811492919921875 × 2 - 1) × π
    0.62298583984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.95716774
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.938568115234375 × 2 - 1) × π
    -0.87713623046875 × 3.1415926535     		Φ = -2.75560473775931
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95716774} λ = 1.95716774}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.75560473775931))-π/2
    2×atan(0.0635705645215573)-π/2
    2×0.063485137421974-π/2
    0.126970274843948-1.57079632675     		φ = -1.44382605
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95716774} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.137451°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44382605 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.725139°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106364 KachelY 123020 1.95716774 -1.44382605 112.137451 -82.725139
    Oben rechts KachelX + 1 106365 KachelY 123020 1.95721567 -1.44382605 112.140197 -82.725139
    Unten links KachelX 106364 KachelY + 1 123021 1.95716774 -1.44383212 112.137451 -82.725487
    Unten rechts KachelX + 1 106365 KachelY + 1 123021 1.95721567 -1.44383212 112.140197 -82.725487
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44382605--1.44383212) × R
    6.06999999996916e-06 × 6371000     		dl = 38.6719699998035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44382605--1.44383212) × R
    6.06999999996916e-06 × 6371000     		dr = 38.6719699998035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95716774-1.95721567) × cos(-1.44382605) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.126629394167104 × 6371000     		do = 38.6678088605608m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95716774-1.95721567) × cos(-1.44383212) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.126623373027678 × 6371000     		du = 38.6659702332026m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44382605)-sin(-1.44383212))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.126629394167104-0.126623373027678)×R²
    abs(1.95721567-1.95716774)×6.02113942643756e-06×R²
    4.79300000000293e-05×6.02113942643756e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×6.02113942643756e-06×40589641000000     		ar = 1495.32479264285m²