Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106160 / 123312
↖ ↑ ↗
← S 82.825994°
E111.577148°		 ← 38.14 m → S 82.825994°
E111.579895°		 →
↑
38.10 m
↓
↑
38.10 m
↓
S 82.826337°
E111.577148°		 ← 38.14 m →
1 453 m²		 S 82.826337°
E111.579895°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106160 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 123312 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.809940338134766 y=0.940799713134766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.809940338134766 × 217)
    floor (0.809940338134766 × 131072)
    floor (106160.5)     		tx = 106160
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.940799713134766 × 217)
    floor (0.940799713134766 × 131072)
    floor (123312.5)     		ty = 123312
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106160 / 123312 ti = "17/106160/123312"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106160/123312.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106160 ÷ 217
    106160 ÷ 131072     		x = 0.8099365234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 123312 ÷ 217
    123312 ÷ 131072     		y = 0.9407958984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8099365234375 × 2 - 1) × π
    0.619873046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.94738861
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9407958984375 × 2 - 1) × π
    -0.881591796875 × 3.1415926535     		Φ = -2.76960231244836
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.94738861} λ = 1.94738861}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.76960231244836))-π/2
    2×atan(0.0626869295972234)-π/2
    2×0.062605010071581-π/2
    0.125210020143162-1.57079632675     		φ = -1.44558631
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.94738861} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.577148°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44558631 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.825994°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106160 KachelY 123312 1.94738861 -1.44558631 111.577148 -82.825994
    Oben rechts KachelX + 1 106161 KachelY 123312 1.94743655 -1.44558631 111.579895 -82.825994
    Unten links KachelX 106160 KachelY + 1 123313 1.94738861 -1.44559229 111.577148 -82.826337
    Unten rechts KachelX + 1 106161 KachelY + 1 123313 1.94743655 -1.44559229 111.579895 -82.826337
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44558631--1.44559229) × R
    5.98000000007204e-06 × 6371000     		dl = 38.098580000459m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44558631--1.44559229) × R
    5.98000000007204e-06 × 6371000     		dr = 38.098580000459m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.94738861-1.94743655) × cos(-1.44558631) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.124883108808154 × 6371000     		do = 38.1425159212059m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.94738861-1.94743655) × cos(-1.44559229) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.124877175620581 × 6371000     		du = 38.1407037730008m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44558631)-sin(-1.44559229))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.124883108808154-0.124877175620581)×R²
    abs(1.94743655-1.94738861)×5.93318757309558e-06×R²
    4.79399999999686e-05×5.93318757309558e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×5.93318757309558e-06×40589641000000     		ar = 1453.14117412463m²