Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 106113 / 123263
↖ ↑ ↗
← S 82.809168°
E111.448059°		 ← 38.22 m → S 82.809168°
E111.450806°		 →
↑
38.23 m
↓
↑
38.23 m
↓
S 82.809512°
E111.448059°		 ← 38.22 m →
1 461 m²		 S 82.809512°
E111.450806°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106113 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 123263 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.809581756591797 y=0.940425872802734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.809581756591797 × 217)
    floor (0.809581756591797 × 131072)
    floor (106113.5)     		tx = 106113
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.940425872802734 × 217)
    floor (0.940425872802734 × 131072)
    floor (123263.5)     		ty = 123263
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106113 / 123263 ti = "17/106113/123263"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106113/123263.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106113 ÷ 217
    106113 ÷ 131072     		x = 0.809577941894531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 123263 ÷ 217
    123263 ÷ 131072     		y = 0.940422058105469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.809577941894531 × 2 - 1) × π
    0.619155883789062 × 3.1415926535     		Λ = 1.94513558
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.940422058105469 × 2 - 1) × π
    -0.880844116210938 × 3.1415926535     		Φ = -2.76725340436698
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.94513558} λ = 1.94513558}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.76725340436698))-π/2
    2×atan(0.0628343485016991)-π/2
    2×0.0627518505860136-π/2
    0.125503701172027-1.57079632675     		φ = -1.44529263
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.94513558} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.448059°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44529263 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.809168°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106113 KachelY 123263 1.94513558 -1.44529263 111.448059 -82.809168
    Oben rechts KachelX + 1 106114 KachelY 123263 1.94518351 -1.44529263 111.450806 -82.809168
    Unten links KachelX 106113 KachelY + 1 123264 1.94513558 -1.44529863 111.448059 -82.809512
    Unten rechts KachelX + 1 106114 KachelY + 1 123264 1.94518351 -1.44529863 111.450806 -82.809512
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44529263--1.44529863) × R
    5.99999999995049e-06 × 6371000     		dl = 38.2259999996846m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44529263--1.44529863) × R
    5.99999999995049e-06 × 6371000     		dr = 38.2259999996846m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.94513558-1.94518351) × cos(-1.44529263) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.125174484333341 × 6371000     		do = 38.2235346400784m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.94513558-1.94518351) × cos(-1.44529863) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.125168531522629 × 6371000     		du = 38.2217168777153m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44529263)-sin(-1.44529863))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.125174484333341-0.125168531522629)×R²
    abs(1.94518351-1.94513558)×5.95281071166798e-06×R²
    4.79299999998073e-05×5.95281071166798e-06×6371000²
    4.79299999998073e-05×5.95281071166798e-06×40589641000000     		ar = 1461.09809235841m²