Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 105856 / 123264
↖ ↑ ↗
← S 82.809512°
E110.742187°		 ← 38.23 m → S 82.809512°
E110.744934°		 →
↑
38.23 m
↓
↑
38.23 m
↓
S 82.809855°
E110.742187°		 ← 38.23 m →
1 461 m²		 S 82.809855°
E110.744934°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105856 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 123264 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.807621002197266 y=0.940433502197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.807621002197266 × 217)
    floor (0.807621002197266 × 131072)
    floor (105856.5)     		tx = 105856
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.940433502197266 × 217)
    floor (0.940433502197266 × 131072)
    floor (123264.5)     		ty = 123264
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105856 / 123264 ti = "17/105856/123264"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105856/123264.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105856 ÷ 217
    105856 ÷ 131072     		x = 0.8076171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 123264 ÷ 217
    123264 ÷ 131072     		y = 0.9404296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8076171875 × 2 - 1) × π
    0.615234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.93281579
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9404296875 × 2 - 1) × π
    -0.880859375 × 3.1415926535     		Φ = -2.7673013412666
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.93281579} λ = 1.93281579}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.7673013412666))-π/2
    2×atan(0.0628313364900361)-π/2
    2×0.0627488504189086-π/2
    0.125497700837817-1.57079632675     		φ = -1.44529863
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.93281579} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.742187°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44529863 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.809512°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105856 KachelY 123264 1.93281579 -1.44529863 110.742187 -82.809512
    Oben rechts KachelX + 1 105857 KachelY 123264 1.93286373 -1.44529863 110.744934 -82.809512
    Unten links KachelX 105856 KachelY + 1 123265 1.93281579 -1.44530463 110.742187 -82.809855
    Unten rechts KachelX + 1 105857 KachelY + 1 123265 1.93286373 -1.44530463 110.744934 -82.809855
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44529863--1.44530463) × R
    6.00000000017253e-06 × 6371000     		dl = 38.2260000010992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44529863--1.44530463) × R
    6.00000000017253e-06 × 6371000     		dr = 38.2260000010992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.93281579-1.93286373) × cos(-1.44529863) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.125168531522629 × 6371000     		do = 38.2296913649872m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.93281579-1.93286373) × cos(-1.44530463) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.125162578707411 × 6371000     		du = 38.2278732219942m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44529863)-sin(-1.44530463))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.125168531522629-0.125162578707411)×R²
    abs(1.93286373-1.93281579)×5.95281521795221e-06×R²
    4.79399999999686e-05×5.95281521795221e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×5.95281521795221e-06×40589641000000     		ar = 1461.33343205737m²