Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105600 / 121984
↖ ↑ ↗
← S 82.355800°
E110.039063°		 ← 40.62 m → S 82.355800°
E110.041809°		 →
↑
40.65 m
↓
↑
40.65 m
↓
S 82.356166°
E110.039063°		 ← 40.62 m →
1 651 m²		 S 82.356166°
E110.041809°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105600 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 121984 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.805667877197266 y=0.930667877197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.805667877197266 × 217)
    floor (0.805667877197266 × 131072)
    floor (105600.5)     		tx = 105600
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.930667877197266 × 217)
    floor (0.930667877197266 × 131072)
    floor (121984.5)     		ty = 121984
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105600 / 121984 ti = "17/105600/121984"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105600/121984.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105600 ÷ 217
    105600 ÷ 131072     		x = 0.8056640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 121984 ÷ 217
    121984 ÷ 131072     		y = 0.9306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8056640625 × 2 - 1) × π
    0.611328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.92054395
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9306640625 × 2 - 1) × π
    -0.861328125 × 3.1415926535     		Φ = -2.70594210975293
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.92054395} λ = 1.92054395}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.70594210975293))-π/2
    2×atan(0.0668073543290722)-π/2
    2×0.0667082276176619-π/2
    0.133416455235324-1.57079632675     		φ = -1.43737987
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.92054395} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.039063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43737987 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.355800°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105600 KachelY 121984 1.92054395 -1.43737987 110.039063 -82.355800
    Oben rechts KachelX + 1 105601 KachelY 121984 1.92059188 -1.43737987 110.041809 -82.355800
    Unten links KachelX 105600 KachelY + 1 121985 1.92054395 -1.43738625 110.039063 -82.356166
    Unten rechts KachelX + 1 105601 KachelY + 1 121985 1.92059188 -1.43738625 110.041809 -82.356166
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43737987--1.43738625) × R
    6.38000000008354e-06 × 6371000     		dl = 40.6469800005322m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43737987--1.43738625) × R
    6.38000000008354e-06 × 6371000     		dr = 40.6469800005322m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.92054395-1.92059188) × cos(-1.43737987) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.13302100784328 × 6371000     		do = 40.6195649875065m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.92054395-1.92059188) × cos(-1.43738625) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.13301468453824 × 6371000     		du = 40.6176340902432m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43737987)-sin(-1.43738625))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.13302100784328-0.13301468453824)×R²
    abs(1.92059188-1.92054395)×6.32330504002354e-06×R²
    4.79299999998073e-05×6.32330504002354e-06×6371000²
    4.79299999998073e-05×6.32330504002354e-06×40589641000000     		ar = 1651.0234031734m²