Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105536 / 119871
↖ ↑ ↗
← S 81.543756°
E109.863281°		 ← 44.91 m → S 81.543756°
E109.866028°		 →
↑
44.85 m
↓
↑
44.85 m
↓
S 81.544159°
E109.863281°		 ← 44.91 m →
2 014 m²		 S 81.544159°
E109.866028°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105536 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119871 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.805179595947266 y=0.914546966552734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.805179595947266 × 217)
    floor (0.805179595947266 × 131072)
    floor (105536.5)     		tx = 105536
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.914546966552734 × 217)
    floor (0.914546966552734 × 131072)
    floor (119871.5)     		ty = 119871
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105536 / 119871 ti = "17/105536/119871"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105536/119871.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105536 ÷ 217
    105536 ÷ 131072     		x = 0.80517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119871 ÷ 217
    119871 ÷ 131072     		y = 0.914543151855469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.80517578125 × 2 - 1) × π
    0.6103515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.91747598
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.914543151855469 × 2 - 1) × π
    -0.829086303710938 × 3.1415926535     		Φ = -2.60465144085575
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.91747598} λ = 1.91747598}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.60465144085575))-π/2
    2×atan(0.0739289013017111)-π/2
    2×0.0737946555540165-π/2
    0.147589311108033-1.57079632675     		φ = -1.42320702
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.91747598} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.863281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42320702 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.543756°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105536 KachelY 119871 1.91747598 -1.42320702 109.863281 -81.543756
    Oben rechts KachelX + 1 105537 KachelY 119871 1.91752392 -1.42320702 109.866028 -81.543756
    Unten links KachelX 105536 KachelY + 1 119872 1.91747598 -1.42321406 109.863281 -81.544159
    Unten rechts KachelX + 1 105537 KachelY + 1 119872 1.91752392 -1.42321406 109.866028 -81.544159
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42320702--1.42321406) × R
    7.04000000006921e-06 × 6371000     		dl = 44.851840000441m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42320702--1.42321406) × R
    7.04000000006921e-06 × 6371000     		dr = 44.851840000441m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.91747598-1.91752392) × cos(-1.42320702) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.147054076838041 × 6371000     		do = 44.9141002382462m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.91747598-1.91752392) × cos(-1.42321406) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.147047113370081 × 6371000     		du = 44.9119734158914m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42320702)-sin(-1.42321406))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.147054076838041-0.147047113370081)×R²
    abs(1.91752392-1.91747598)×6.96346796019709e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.96346796019709e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.96346796019709e-06×40589641000000     		ar = 2014.43234171661m²