Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105492 / 119828
↖ ↑ ↗
← S 81.526370°
E109.742432°		 ← 45.01 m → S 81.526370°
E109.745178°		 →
↑
44.98 m
↓
↑
44.98 m
↓
S 81.526775°
E109.742432°		 ← 45 m →
2 024 m²		 S 81.526775°
E109.745178°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105492 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119828 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.804843902587891 y=0.914218902587891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.804843902587891 × 217)
    floor (0.804843902587891 × 131072)
    floor (105492.5)     		tx = 105492
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.914218902587891 × 217)
    floor (0.914218902587891 × 131072)
    floor (119828.5)     		ty = 119828
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105492 / 119828 ti = "17/105492/119828"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105492/119828.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105492 ÷ 217
    105492 ÷ 131072     		x = 0.804840087890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119828 ÷ 217
    119828 ÷ 131072     		y = 0.914215087890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.804840087890625 × 2 - 1) × π
    0.60968017578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.91536676
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.914215087890625 × 2 - 1) × π
    -0.82843017578125 × 3.1415926535     		Φ = -2.60259015417209
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.91536676} λ = 1.91536676}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.60259015417209))-π/2
    2×atan(0.0740814471278294)-π/2
    2×0.0739463704727671-π/2
    0.147892740945534-1.57079632675     		φ = -1.42290359
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.91536676} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.742432°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42290359 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.526370°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105492 KachelY 119828 1.91536676 -1.42290359 109.742432 -81.526370
    Oben rechts KachelX + 1 105493 KachelY 119828 1.91541470 -1.42290359 109.745178 -81.526370
    Unten links KachelX 105492 KachelY + 1 119829 1.91536676 -1.42291065 109.742432 -81.526775
    Unten rechts KachelX + 1 105493 KachelY + 1 119829 1.91541470 -1.42291065 109.745178 -81.526775
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42290359--1.42291065) × R
    7.05999999994766e-06 × 6371000     		dl = 44.9792599996666m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42290359--1.42291065) × R
    7.05999999994766e-06 × 6371000     		dr = 44.9792599996666m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.91536676-1.91541470) × cos(-1.42290359) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.147354201310612 × 6371000     		do = 45.005765977373m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.91536676-1.91541470) × cos(-1.42291065) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.147347218375397 × 6371000     		du = 45.0036332092178m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42290359)-sin(-1.42291065))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.147354201310612-0.147347218375397)×R²
    abs(1.91541470-1.91536676)×6.98293521433913e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.98293521433913e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.98293521433913e-06×40589641000000     		ar = 2024.27808413858m²