Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 105488 / 121872
↖ ↑ ↗
← S 82.314772°
E109.731445°		 ← 40.84 m → S 82.314772°
E109.734192°		 →
↑
40.84 m
↓
↑
40.84 m
↓
S 82.315139°
E109.731445°		 ← 40.84 m →
1 668 m²		 S 82.315139°
E109.734192°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105488 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 121872 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.804813385009766 y=0.929813385009766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.804813385009766 × 217)
    floor (0.804813385009766 × 131072)
    floor (105488.5)     		tx = 105488
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.929813385009766 × 217)
    floor (0.929813385009766 × 131072)
    floor (121872.5)     		ty = 121872
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105488 / 121872 ti = "17/105488/121872"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105488/121872.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105488 ÷ 217
    105488 ÷ 131072     		x = 0.8048095703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 121872 ÷ 217
    121872 ÷ 131072     		y = 0.9298095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8048095703125 × 2 - 1) × π
    0.609619140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.91517501
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9298095703125 × 2 - 1) × π
    -0.859619140625 × 3.1415926535     		Φ = -2.70057317699548
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.91517501} λ = 1.91517501}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.70057317699548))-π/2
    2×atan(0.0671670031233451)-π/2
    2×0.0670662697719895-π/2
    0.134132539543979-1.57079632675     		φ = -1.43666379
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.91517501} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.731445°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43666379 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.314772°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105488 KachelY 121872 1.91517501 -1.43666379 109.731445 -82.314772
    Oben rechts KachelX + 1 105489 KachelY 121872 1.91522295 -1.43666379 109.734192 -82.314772
    Unten links KachelX 105488 KachelY + 1 121873 1.91517501 -1.43667020 109.731445 -82.315139
    Unten rechts KachelX + 1 105489 KachelY + 1 121873 1.91522295 -1.43667020 109.734192 -82.315139
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43666379--1.43667020) × R
    6.40999999990122e-06 × 6371000     		dl = 40.8381099993707m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43666379--1.43667020) × R
    6.40999999990122e-06 × 6371000     		dr = 40.8381099993707m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.91517501-1.91522295) × cos(-1.43666379) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.133730690031353 × 6371000     		do = 40.8447949635098m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.91517501-1.91522295) × cos(-1.43667020) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.133724337605081 × 6371000     		du = 40.842854769015m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43666379)-sin(-1.43667020))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.133730690031353-0.133724337605081)×R²
    abs(1.91522295-1.91517501)×6.35242627161636e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.35242627161636e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.35242627161636e-06×40589641000000     		ar = 1667.9846128043m²