Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105488 / 119824
↖ ↑ ↗
← S 81.524751°
E109.731445°		 ← 45.01 m → S 81.524751°
E109.734192°		 →
↑
44.98 m
↓
↑
44.98 m
↓
S 81.525156°
E109.731445°		 ← 45.01 m →
2 025 m²		 S 81.525156°
E109.734192°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105488 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119824 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.804813385009766 y=0.914188385009766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.804813385009766 × 217)
    floor (0.804813385009766 × 131072)
    floor (105488.5)     		tx = 105488
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.914188385009766 × 217)
    floor (0.914188385009766 × 131072)
    floor (119824.5)     		ty = 119824
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105488 / 119824 ti = "17/105488/119824"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105488/119824.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105488 ÷ 217
    105488 ÷ 131072     		x = 0.8048095703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119824 ÷ 217
    119824 ÷ 131072     		y = 0.9141845703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8048095703125 × 2 - 1) × π
    0.609619140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.91517501
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9141845703125 × 2 - 1) × π
    -0.828369140625 × 3.1415926535     		Φ = -2.60239840657361
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.91517501} λ = 1.91517501}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.60239840657361))-π/2
    2×atan(0.0740956534293766)-π/2
    2×0.0739604992200199-π/2
    0.14792099844004-1.57079632675     		φ = -1.42287533
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.91517501} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.731445°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42287533 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.524751°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105488 KachelY 119824 1.91517501 -1.42287533 109.731445 -81.524751
    Oben rechts KachelX + 1 105489 KachelY 119824 1.91522295 -1.42287533 109.734192 -81.524751
    Unten links KachelX 105488 KachelY + 1 119825 1.91517501 -1.42288239 109.731445 -81.525156
    Unten rechts KachelX + 1 105489 KachelY + 1 119825 1.91522295 -1.42288239 109.734192 -81.525156
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42287533--1.42288239) × R
    7.05999999994766e-06 × 6371000     		dl = 44.9792599996666m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42287533--1.42288239) × R
    7.05999999994766e-06 × 6371000     		dr = 44.9792599996666m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.91517501-1.91522295) × cos(-1.42287533) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.147382152759612 × 6371000     		do = 45.0143030693679m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.91517501-1.91522295) × cos(-1.42288239) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.147375169853799 × 6371000     		du = 45.0121703101927m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42287533)-sin(-1.42288239))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.147382152759612-0.147375169853799)×R²
    abs(1.91522295-1.91517501)×6.98290581277461e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.98290581277461e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.98290581277461e-06×40589641000000     		ar = 2024.66207648901m²