Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105475 / 121860
↖ ↑ ↗
← S 82.310363°
E109.695740°		 ← 40.87 m → S 82.310363°
E109.698486°		 →
↑
40.84 m
↓
↑
40.84 m
↓
S 82.310730°
E109.695740°		 ← 40.87 m →
1 669 m²		 S 82.310730°
E109.698486°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105475 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 121860 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.804714202880859 y=0.929721832275391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.804714202880859 × 217)
    floor (0.804714202880859 × 131072)
    floor (105475.5)     		tx = 105475
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.929721832275391 × 217)
    floor (0.929721832275391 × 131072)
    floor (121860.5)     		ty = 121860
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105475 / 121860 ti = "17/105475/121860"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105475/121860.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105475 ÷ 217
    105475 ÷ 131072     		x = 0.804710388183594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 121860 ÷ 217
    121860 ÷ 131072     		y = 0.929718017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.804710388183594 × 2 - 1) × π
    0.609420776367188 × 3.1415926535     		Λ = 1.91455183
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.929718017578125 × 2 - 1) × π
    -0.85943603515625 × 3.1415926535     		Φ = -2.69999793420004
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.91455183} λ = 1.91455183}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.69999793420004))-π/2
    2×atan(0.0672056515730385)-π/2
    2×0.0671047445464469-π/2
    0.134209489092894-1.57079632675     		φ = -1.43658684
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.91455183} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.695740°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43658684 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.310363°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105475 KachelY 121860 1.91455183 -1.43658684 109.695740 -82.310363
    Oben rechts KachelX + 1 105476 KachelY 121860 1.91459977 -1.43658684 109.698486 -82.310363
    Unten links KachelX 105475 KachelY + 1 121861 1.91455183 -1.43659325 109.695740 -82.310730
    Unten rechts KachelX + 1 105476 KachelY + 1 121861 1.91459977 -1.43659325 109.698486 -82.310730
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43658684--1.43659325) × R
    6.41000000012326e-06 × 6371000     		dl = 40.8381100007853m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43658684--1.43659325) × R
    6.41000000012326e-06 × 6371000     		dr = 40.8381100007853m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.91455183-1.91459977) × cos(-1.43658684) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.133806948448172 × 6371000     		do = 40.8680862468979m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.91455183-1.91459977) × cos(-1.43659325) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.13380059608788 × 6371000     		du = 40.866146072555m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43658684)-sin(-1.43659325))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.133806948448172-0.13380059608788)×R²
    abs(1.91459977-1.91455183)×6.35236029197794e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.35236029197794e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.35236029197794e-06×40589641000000     		ar = 1668.9357849744m²