Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105474 / 119810
↖ ↑ ↗
← S 81.519082°
E109.692993°		 ← 45.03 m → S 81.519082°
E109.695740°		 →
↑
45.04 m
↓
↑
45.04 m
↓
S 81.519487°
E109.692993°		 ← 45.03 m →
2 028 m²		 S 81.519487°
E109.695740°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105474 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119810 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.804706573486328 y=0.914081573486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.804706573486328 × 217)
    floor (0.804706573486328 × 131072)
    floor (105474.5)     		tx = 105474
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.914081573486328 × 217)
    floor (0.914081573486328 × 131072)
    floor (119810.5)     		ty = 119810
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105474 / 119810 ti = "17/105474/119810"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105474/119810.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105474 ÷ 217
    105474 ÷ 131072     		x = 0.804702758789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119810 ÷ 217
    119810 ÷ 131072     		y = 0.914077758789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.804702758789062 × 2 - 1) × π
    0.609405517578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.91450390
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.914077758789062 × 2 - 1) × π
    -0.828155517578125 × 3.1415926535     		Φ = -2.60172728997893
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.91450390} λ = 1.91450390}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.60172728997893))-π/2
    2×atan(0.0741453969419682)-π/2
    2×0.0740099709422687-π/2
    0.148019941884537-1.57079632675     		φ = -1.42277638
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.91450390} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.692993°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42277638 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.519082°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105474 KachelY 119810 1.91450390 -1.42277638 109.692993 -81.519082
    Oben rechts KachelX + 1 105475 KachelY 119810 1.91455183 -1.42277638 109.695740 -81.519082
    Unten links KachelX 105474 KachelY + 1 119811 1.91450390 -1.42278345 109.692993 -81.519487
    Unten rechts KachelX + 1 105475 KachelY + 1 119811 1.91455183 -1.42278345 109.695740 -81.519487
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42277638--1.42278345) × R
    7.07000000010893e-06 × 6371000     		dl = 45.042970000694m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42277638--1.42278345) × R
    7.07000000010893e-06 × 6371000     		dr = 45.042970000694m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.91450390-1.91455183) × cos(-1.42277638) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.147480021466652 × 6371000     		do = 45.0347987395279m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.91450390-1.91455183) × cos(-1.42278345) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.147473028773169 × 6371000     		du = 45.0326634364508m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42277638)-sin(-1.42278345))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.147480021466652-0.147473028773169)×R²
    abs(1.91455183-1.91450390)×6.99269348269915e-06×R²
    4.79300000000293e-05×6.99269348269915e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×6.99269348269915e-06×40589641000000     		ar = 2028.45299830585m²