Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105473 / 119809
↖ ↑ ↗
← S 81.518677°
E109.690247°		 ← 45.05 m → S 81.518677°
E109.692993°		 →
↑
45.04 m
↓
↑
45.04 m
↓
S 81.519082°
E109.690247°		 ← 45.04 m →
2 029 m²		 S 81.519082°
E109.692993°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105473 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119809 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.804698944091797 y=0.914073944091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.804698944091797 × 217)
    floor (0.804698944091797 × 131072)
    floor (105473.5)     		tx = 105473
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.914073944091797 × 217)
    floor (0.914073944091797 × 131072)
    floor (119809.5)     		ty = 119809
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105473 / 119809 ti = "17/105473/119809"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105473/119809.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105473 ÷ 217
    105473 ÷ 131072     		x = 0.804695129394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119809 ÷ 217
    119809 ÷ 131072     		y = 0.914070129394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.804695129394531 × 2 - 1) × π
    0.609390258789062 × 3.1415926535     		Λ = 1.91445596
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.914070129394531 × 2 - 1) × π
    -0.828140258789062 × 3.1415926535     		Φ = -2.60167935307931
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.91445596} λ = 1.91445596}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.60167935307931))-π/2
    2×atan(0.0741489513276111)-π/2
    2×0.0740135058934449-π/2
    0.14802701178689-1.57079632675     		φ = -1.42276931
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.91445596} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.690247°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42276931 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.518677°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105473 KachelY 119809 1.91445596 -1.42276931 109.690247 -81.518677
    Oben rechts KachelX + 1 105474 KachelY 119809 1.91450390 -1.42276931 109.692993 -81.518677
    Unten links KachelX 105473 KachelY + 1 119810 1.91445596 -1.42277638 109.690247 -81.519082
    Unten rechts KachelX + 1 105474 KachelY + 1 119810 1.91450390 -1.42277638 109.692993 -81.519082
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42276931--1.42277638) × R
    7.06999999988689e-06 × 6371000     		dl = 45.0429699992794m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42276931--1.42277638) × R
    7.06999999988689e-06 × 6371000     		dr = 45.0429699992794m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.91445596-1.91450390) × cos(-1.42276931) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.147487014152762 × 6371000     		do = 45.0463304379684m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.91445596-1.91450390) × cos(-1.42277638) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.147480021466652 × 6371000     		du = 45.0441946916384m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42276931)-sin(-1.42277638))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.147487014152762-0.147480021466652)×R²
    abs(1.91450390-1.91445596)×6.99268611070725e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.99268611070725e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.99268611070725e-06×40589641000000     		ar = 2028.97241031954m²