Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105471 / 119807
↖ ↑ ↗
← S 81.517867°
E109.684754°		 ← 45.04 m → S 81.517867°
E109.687500°		 →
↑
45.04 m
↓
↑
45.04 m
↓
S 81.518272°
E109.684754°		 ← 45.04 m →
2 029 m²		 S 81.518272°
E109.687500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105471 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119807 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.804683685302734 y=0.914058685302734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.804683685302734 × 217)
    floor (0.804683685302734 × 131072)
    floor (105471.5)     		tx = 105471
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.914058685302734 × 217)
    floor (0.914058685302734 × 131072)
    floor (119807.5)     		ty = 119807
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105471 / 119807 ti = "17/105471/119807"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105471/119807.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105471 ÷ 217
    105471 ÷ 131072     		x = 0.804679870605469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119807 ÷ 217
    119807 ÷ 131072     		y = 0.914054870605469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.804679870605469 × 2 - 1) × π
    0.609359741210938 × 3.1415926535     		Λ = 1.91436009
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.914054870605469 × 2 - 1) × π
    -0.828109741210938 × 3.1415926535     		Φ = -2.60158347928007
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.91436009} λ = 1.91436009}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.60158347928007))-π/2
    2×atan(0.0741560606100761)-π/2
    2×0.0740205762986214-π/2
    0.148041152597243-1.57079632675     		φ = -1.42275517
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.91436009} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.684754°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42275517 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.517867°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105471 KachelY 119807 1.91436009 -1.42275517 109.684754 -81.517867
    Oben rechts KachelX + 1 105472 KachelY 119807 1.91440802 -1.42275517 109.687500 -81.517867
    Unten links KachelX 105471 KachelY + 1 119808 1.91436009 -1.42276224 109.684754 -81.518272
    Unten rechts KachelX + 1 105472 KachelY + 1 119808 1.91440802 -1.42276224 109.687500 -81.518272
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42275517--1.42276224) × R
    7.06999999988689e-06 × 6371000     		dl = 45.0429699992794m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42275517--1.42276224) × R
    7.06999999988689e-06 × 6371000     		dr = 45.0429699992794m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.91436009-1.91440802) × cos(-1.42275517) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.147500999502867 × 6371000     		do = 45.0412046352521m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.91436009-1.91440802) × cos(-1.42276224) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.147494006831501 × 6371000     		du = 45.0390693389286m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42275517)-sin(-1.42276224))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.147500999502867-0.147494006831501)×R²
    abs(1.91440802-1.91436009)×6.99267136611281e-06×R²
    4.79300000000293e-05×6.99267136611281e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×6.99267136611281e-06×40589641000000     		ar = 2028.74153904761m²