Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10426 / 10684
↖ ↑ ↗
← S 47.931066°
E 49.086914°		 ← 1 637.06 m → S 47.931066°
E 49.108887°		 →
↑
1 636.84 m
↓
↑
1 636.84 m
↓
S 47.945787°
E 49.086914°		 ← 1 636.59 m →
2 679 213 m²		 S 47.945787°
E 49.108887°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10426 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10684 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.636383056640625 y=0.652130126953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.636383056640625 × 214)
    floor (0.636383056640625 × 16384)
    floor (10426.5)     		tx = 10426
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.652130126953125 × 214)
    floor (0.652130126953125 × 16384)
    floor (10684.5)     		ty = 10684
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10426 / 10684 ti = "14/10426/10684"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10426/10684.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10426 ÷ 214
    10426 ÷ 16384     		x = 0.6363525390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10684 ÷ 214
    10684 ÷ 16384     		y = 0.652099609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6363525390625 × 2 - 1) × π
    0.272705078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.85672827
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.652099609375 × 2 - 1) × π
    -0.30419921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.955670030825439
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.85672827} λ = 0.85672827}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.955670030825439))-π/2
    2×atan(0.384554394913869)-π/2
    2×0.36712070252865-π/2
    0.7342414050573-1.57079632675     		φ = -0.83655492
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.85672827} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.086914°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83655492 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.931066°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10426 KachelY 10684 0.85672827 -0.83655492 49.086914 -47.931066
    Oben rechts KachelX + 1 10427 KachelY 10684 0.85711177 -0.83655492 49.108887 -47.931066
    Unten links KachelX 10426 KachelY + 1 10685 0.85672827 -0.83681184 49.086914 -47.945787
    Unten rechts KachelX + 1 10427 KachelY + 1 10685 0.85711177 -0.83681184 49.108887 -47.945787
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83655492--0.83681184) × R
    0.000256919999999994 × 6371000     		dl = 1636.83731999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83655492--0.83681184) × R
    0.000256919999999994 × 6371000     		dr = 1636.83731999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.85672827-0.85711177) × cos(-0.83655492) × R
    0.000383500000000092 × 0.670024214973752 × 6371000     		do = 1637.05575892514m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.85672827-0.85711177) × cos(-0.83681184) × R
    0.000383500000000092 × 0.669833471064158 × 6371000     		du = 1636.58971843182m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83655492)-sin(-0.83681184))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.670024214973752-0.669833471064158)×R²
    abs(0.85711177-0.85672827)×0.00019074390959406×R²
    0.000383500000000092×0.00019074390959406×6371000²
    0.000383500000000092×0.00019074390959406×40589641000000     		ar = 2679212.55963084m²