Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10424 / 10679
↖ ↑ ↗
← S 47.857403°
E 49.042969°		 ← 1 639.34 m → S 47.857403°
E 49.064941°		 →
↑
1 639.13 m
↓
↑
1 639.13 m
↓
S 47.872144°
E 49.042969°		 ← 1 638.88 m →
2 686 717 m²		 S 47.872144°
E 49.064941°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10424 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10679 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.636260986328125 y=0.651824951171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.636260986328125 × 214)
    floor (0.636260986328125 × 16384)
    floor (10424.5)     		tx = 10424
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.651824951171875 × 214)
    floor (0.651824951171875 × 16384)
    floor (10679.5)     		ty = 10679
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10424 / 10679 ti = "14/10424/10679"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10424/10679.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10424 ÷ 214
    10424 ÷ 16384     		x = 0.63623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10679 ÷ 214
    10679 ÷ 16384     		y = 0.65179443359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63623046875 × 2 - 1) × π
    0.2724609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.85596128
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65179443359375 × 2 - 1) × π
    -0.3035888671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.953752554840637
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.85596128} λ = 0.85596128}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.953752554840637))-π/2
    2×atan(0.385292476131329)-π/2
    2×0.367763537423968-π/2
    0.735527074847936-1.57079632675     		φ = -0.83526925
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.85596128} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.042969°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83526925 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.857403°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10424 KachelY 10679 0.85596128 -0.83526925 49.042969 -47.857403
    Oben rechts KachelX + 1 10425 KachelY 10679 0.85634477 -0.83526925 49.064941 -47.857403
    Unten links KachelX 10424 KachelY + 1 10680 0.85596128 -0.83552653 49.042969 -47.872144
    Unten rechts KachelX + 1 10425 KachelY + 1 10680 0.85634477 -0.83552653 49.064941 -47.872144
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83526925--0.83552653) × R
    0.000257280000000026 × 6371000     		dl = 1639.13088000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83526925--0.83552653) × R
    0.000257280000000026 × 6371000     		dr = 1639.13088000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.85596128-0.85634477) × cos(-0.83526925) × R
    0.000383489999999931 × 0.67097806424777 × 6371000     		do = 1639.34353033543m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.85596128-0.85634477) × cos(-0.83552653) × R
    0.000383489999999931 × 0.670787274788976 × 6371000     		du = 1638.87739070792m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83526925)-sin(-0.83552653))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.67097806424777-0.670787274788976)×R²
    abs(0.85634477-0.85596128)×0.000190789458793805×R²
    0.000383489999999931×0.000190789458793805×6371000²
    0.000383489999999931×0.000190789458793805×40589641000000     		ar = 2686716.58639244m²