Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1041 / 1002
↖ ↑ ↗
← N  3.864255°
E  2.988281°		 ← 19.502 km → N  3.864255°
E  3.164063°		 →
↑
19.504 km
↓
↑
19.504 km
↓
N  3.688855°
E  2.988281°		 ← 19.505 km →
380.388 km²		 N  3.688855°
E  3.164063°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1041 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1002 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508544921875 y=0.489501953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508544921875 × 211)
    floor (0.508544921875 × 2048)
    floor (1041.5)     		tx = 1041
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.489501953125 × 211)
    floor (0.489501953125 × 2048)
    floor (1002.5)     		ty = 1002
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1041 / 1002 ti = "11/1041/1002"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1041/1002.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1041 ÷ 211
    1041 ÷ 2048     		x = 0.50830078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1002 ÷ 211
    1002 ÷ 2048     		y = 0.4892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50830078125 × 2 - 1) × π
    0.0166015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.05215535
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4892578125 × 2 - 1) × π
    0.021484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.0674951546650391
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05215535} λ = 0.05215535}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0674951546650391))-π/2
    2×atan(1.0698250759245)-π/2
    2×0.819120146486349-π/2
    1.6382402929727-1.57079632675     		φ = 0.06744397
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05215535} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.988281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.06744397 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 3.864255°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1041 KachelY 1002 0.05215535 0.06744397 2.988281 3.864255
    Oben rechts KachelX + 1 1042 KachelY 1002 0.05522331 0.06744397 3.164063 3.864255
    Unten links KachelX 1041 KachelY + 1 1003 0.05215535 0.06438267 2.988281 3.688855
    Unten rechts KachelX + 1 1042 KachelY + 1 1003 0.05522331 0.06438267 3.164063 3.688855
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.06744397-0.06438267) × R
    0.0030613 × 6371000     		dl = 19503.5423m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.06744397-0.06438267) × R
    0.0030613 × 6371000     		dr = 19503.5423m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05215535-0.05522331) × cos(0.06744397) × R
    0.00306795999999999 × 0.9977265174318 × 6371000     		do = 19501.5357307422m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05215535-0.05522331) × cos(0.06438267) × R
    0.00306795999999999 × 0.997928151723247 × 6371000     		du = 19505.476869191m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.06744397)-sin(0.06438267))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.9977265174318-0.997928151723247)×R²
    abs(0.05522331-0.05215535)×0.000201634291447483×R²
    0.00306795999999999×0.000201634291447483×6371000²
    0.00306795999999999×0.000201634291447483×40589641000000     		ar = 380387757.188579m²