Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10390 / 10670
↖ ↑ ↗
← S 47.724545°
E 48.295898°		 ← 1 643.58 m → S 47.724545°
E 48.317871°		 →
↑
1 643.34 m
↓
↑
1 643.34 m
↓
S 47.739324°
E 48.295898°		 ← 1 643.12 m →
2 700 575 m²		 S 47.739324°
E 48.317871°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10390 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10670 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.634185791015625 y=0.651275634765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.634185791015625 × 214)
    floor (0.634185791015625 × 16384)
    floor (10390.5)     		tx = 10390
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.651275634765625 × 214)
    floor (0.651275634765625 × 16384)
    floor (10670.5)     		ty = 10670
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10390 / 10670 ti = "14/10390/10670"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10390/10670.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10390 ÷ 214
    10390 ÷ 16384     		x = 0.6341552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10670 ÷ 214
    10670 ÷ 16384     		y = 0.6512451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6341552734375 × 2 - 1) × π
    0.268310546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.84292244
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6512451171875 × 2 - 1) × π
    -0.302490234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.950301098067993
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.84292244} λ = 0.84292244}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.950301098067993))-π/2
    2×atan(0.386624594008746)-π/2
    2×0.368922945208333-π/2
    0.737845890416666-1.57079632675     		φ = -0.83295044
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.84292244} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 48.295898°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83295044 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.724545°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10390 KachelY 10670 0.84292244 -0.83295044 48.295898 -47.724545
    Oben rechts KachelX + 1 10391 KachelY 10670 0.84330594 -0.83295044 48.317871 -47.724545
    Unten links KachelX 10390 KachelY + 1 10671 0.84292244 -0.83320838 48.295898 -47.739324
    Unten rechts KachelX + 1 10391 KachelY + 1 10671 0.84330594 -0.83320838 48.317871 -47.739324
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83295044--0.83320838) × R
    0.000257940000000012 × 6371000     		dl = 1643.33574000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83295044--0.83320838) × R
    0.000257940000000012 × 6371000     		dr = 1643.33574000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.84292244-0.84330594) × cos(-0.83295044) × R
    0.000383499999999981 × 0.672695603568435 × 6371000     		do = 1643.5827052432m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.84292244-0.84330594) × cos(-0.83320838) × R
    0.000383499999999981 × 0.67250472639858 × 6371000     		du = 1643.11633915795m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83295044)-sin(-0.83320838))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.672695603568435-0.67250472639858)×R²
    abs(0.84330594-0.84292244)×0.00019087716985533×R²
    0.000383499999999981×0.00019087716985533×6371000²
    0.000383499999999981×0.00019087716985533×40589641000000     		ar = 2700575.01811806m²