Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1022 / 750
↖ ↑ ↗
← N 43.325178°
W  0.351562°		 ← 14.219 km → N 43.325178°
W  0.175781°		 →
↑
14.234 km
↓
↑
14.234 km
↓
N 43.197167°
W  0.351562°		 ← 14.249 km →
202.610 km²		 N 43.197167°
W  0.175781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1022 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 750 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499267578125 y=0.366455078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499267578125 × 211)
    floor (0.499267578125 × 2048)
    floor (1022.5)     		tx = 1022
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.366455078125 × 211)
    floor (0.366455078125 × 2048)
    floor (750.5)     		ty = 750
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1022 / 750 ti = "11/1022/750"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1022/750.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1022 ÷ 211
    1022 ÷ 2048     		x = 0.4990234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 750 ÷ 211
    750 ÷ 2048     		y = 0.3662109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4990234375 × 2 - 1) × π
    -0.001953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.00613592
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3662109375 × 2 - 1) × π
    0.267578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.840621471737305
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00613592} λ = -0.00613592}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.840621471737305))-π/2
    2×atan(2.31780698080494)-π/2
    2×1.16348166315243-π/2
    2.32696332630485-1.57079632675     		φ = 0.75616700
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00613592} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.351562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75616700 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.325178°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1022 KachelY 750 -0.00613592 0.75616700 -0.351562 43.325178
    Oben rechts KachelX + 1 1023 KachelY 750 -0.00306796 0.75616700 -0.175781 43.325178
    Unten links KachelX 1022 KachelY + 1 751 -0.00613592 0.75393280 -0.351562 43.197167
    Unten rechts KachelX + 1 1023 KachelY + 1 751 -0.00306796 0.75393280 -0.175781 43.197167
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75616700-0.75393280) × R
    0.00223420000000008 × 6371000     		dl = 14234.0882000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75616700-0.75393280) × R
    0.00223420000000008 × 6371000     		dr = 14234.0882000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00613592--0.00306796) × cos(0.75616700) × R
    0.00306796 × 0.727471315575443 × 6371000     		do = 14219.1348089075m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00613592--0.00306796) × cos(0.75393280) × R
    0.00306796 × 0.729002468391097 × 6371000     		du = 14249.0626807461m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75616700)-sin(0.75393280))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.727471315575443-0.729002468391097)×R²
    abs(-0.00306796--0.00613592)×0.00153115281565441×R²
    0.00306796×0.00153115281565441×6371000²
    0.00306796×0.00153115281565441×40589641000000     		ar = 202609501.261024m²