Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1020 / 726
↖ ↑ ↗
← N 46.316584°
W  0.703125°		 ← 13.500 km → N 46.316584°
W  0.527343°		 →
↑
13.515 km
↓
↑
13.515 km
↓
N 46.195042°
W  0.703125°		 ← 13.530 km →
182.652 km²		 N 46.195042°
W  0.527343°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1020 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 726 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498291015625 y=0.354736328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498291015625 × 211)
    floor (0.498291015625 × 2048)
    floor (1020.5)     		tx = 1020
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.354736328125 × 211)
    floor (0.354736328125 × 2048)
    floor (726.5)     		ty = 726
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1020 / 726 ti = "11/1020/726"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1020/726.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1020 ÷ 211
    1020 ÷ 2048     		x = 0.498046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 726 ÷ 211
    726 ÷ 2048     		y = 0.3544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.498046875 × 2 - 1) × π
    -0.00390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.01227185
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3544921875 × 2 - 1) × π
    0.291015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.914252549553711
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01227185} λ = -0.01227185}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.914252549553711))-π/2
    2×atan(2.49490973340674)-π/2
    2×1.18958660951338-π/2
    2.37917321902677-1.57079632675     		φ = 0.80837689
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01227185} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.703125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.80837689 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.316584°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1020 KachelY 726 -0.01227185 0.80837689 -0.703125 46.316584
    Oben rechts KachelX + 1 1021 KachelY 726 -0.00920388 0.80837689 -0.527343 46.316584
    Unten links KachelX 1020 KachelY + 1 727 -0.01227185 0.80625558 -0.703125 46.195042
    Unten rechts KachelX + 1 1021 KachelY + 1 727 -0.00920388 0.80625558 -0.527343 46.195042
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.80837689-0.80625558) × R
    0.00212131000000004 × 6371000     		dl = 13514.8660100003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.80837689-0.80625558) × R
    0.00212131000000004 × 6371000     		dr = 13514.8660100003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01227185--0.00920388) × cos(0.80837689) × R
    0.00306797 × 0.690673121954347 × 6371000     		do = 13499.9223068377m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01227185--0.00920388) × cos(0.80625558) × R
    0.00306797 × 0.692205628382587 × 6371000     		du = 13529.8767339876m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.80837689)-sin(0.80625558))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.690673121954347-0.692205628382587)×R²
    abs(-0.00920388--0.01227185)×0.00153250642824065×R²
    0.00306797×0.00153250642824065×6371000²
    0.00306797×0.00153250642824065×40589641000000     		ar = 182652124.650877m²