Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1020 / 714
↖ ↑ ↗
← N 47.754098°
W  0.703125°		 ← 13.141 km → N 47.754098°
W  0.527343°		 →
↑
13.156 km
↓
↑
13.156 km
↓
N 47.635784°
W  0.703125°		 ← 13.171 km →
173.079 km²		 N 47.635784°
W  0.527343°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1020 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 714 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498291015625 y=0.348876953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498291015625 × 211)
    floor (0.498291015625 × 2048)
    floor (1020.5)     		tx = 1020
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.348876953125 × 211)
    floor (0.348876953125 × 2048)
    floor (714.5)     		ty = 714
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1020 / 714 ti = "11/1020/714"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1020/714.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1020 ÷ 211
    1020 ÷ 2048     		x = 0.498046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 714 ÷ 211
    714 ÷ 2048     		y = 0.3486328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.498046875 × 2 - 1) × π
    -0.00390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.01227185
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3486328125 × 2 - 1) × π
    0.302734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.951068088461914
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01227185} λ = -0.01227185}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.951068088461914))-π/2
    2×atan(2.58847290139962)-π/2
    2×1.202131283921-π/2
    2.40426256784201-1.57079632675     		φ = 0.83346624
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01227185} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.703125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83346624 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.754098°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1020 KachelY 714 -0.01227185 0.83346624 -0.703125 47.754098
    Oben rechts KachelX + 1 1021 KachelY 714 -0.00920388 0.83346624 -0.527343 47.754098
    Unten links KachelX 1020 KachelY + 1 715 -0.01227185 0.83140127 -0.703125 47.635784
    Unten rechts KachelX + 1 1021 KachelY + 1 715 -0.00920388 0.83140127 -0.527343 47.635784
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83346624-0.83140127) × R
    0.00206497000000005 × 6371000     		dl = 13155.9238700003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83346624-0.83140127) × R
    0.00206497000000005 × 6371000     		dr = 13155.9238700003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01227185--0.00920388) × cos(0.83346624) × R
    0.00306797 × 0.672313863706238 × 6371000     		do = 13141.0715682143m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01227185--0.00920388) × cos(0.83140127) × R
    0.00306797 × 0.673841056738662 × 6371000     		du = 13170.9221395337m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83346624)-sin(0.83140127))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.672313863706238-0.673841056738662)×R²
    abs(-0.00920388--0.01227185)×0.00152719303242388×R²
    0.00306797×0.00152719303242388×6371000²
    0.00306797×0.00152719303242388×40589641000000     		ar = 173079354.545851m²